Вопросы, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая прямая называется перпендикулярной плоскости?

2. Какой отрезок называется перпендикулярным плоскости?

3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Если прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, то для того, чтобы прямая $a$ была перпендикулярна плоскости $\alpha$ (обозначается $a \perp \alpha$), необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна любой прямой $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $M$. Важным следствием является то, что если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна абсолютно всем прямым в этой плоскости, а не только тем, что проходят через точку их пересечения. Ответ: Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Например, если отрезок $AB$ является частью прямой $a$, и известно, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$), то отрезок $AB$ также считается перпендикулярным плоскости $\alpha$. Часто один из концов такого отрезка лежит в плоскости и является основанием перпендикуляра. Ответ: Отрезок называется перпендикулярным плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной этой плоскости.

3. Признак перпендикулярности прямой и плоскости формулируется в виде теоремы: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Это основной метод доказательства перпендикулярности прямой и плоскости. Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Если в плоскости $\alpha$ существуют две прямые $b$ и $c$, которые пересекаются в точке $M$, и при этом прямая $a$ перпендикулярна каждой из них ($a \perp b$ и $a \perp c$), то из этого следует, что прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$). Ответ: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.