Номер 10.11, страница 64 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.11. Попробуйте определить понятие перпендикулярности прямой и плоскости.

Понятие перпендикулярности прямой и плоскости является ключевым в пространственной геометрии (стереометрии) и обобщает идею перпендикулярности двух прямых.

Определение
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна любой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку пересечения.
Пусть прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Если для любой прямой $b$, лежащей в плоскости $\alpha$ и проходящей через точку $M$ ($b \subset \alpha, M \in b$), выполняется условие, что угол между прямыми $a$ и $b$ равен $90^\circ$ ($a \perp b$), то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Это обозначается как $a \perp \alpha$.

На практике невозможно проверить перпендикулярность прямой ко всем бесконечным прямым, лежащим в плоскости. Поэтому для доказательства используется более удобный и достаточный критерий — признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Более формально, чтобы доказать, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, достаточно найти в плоскости $\alpha$ две прямые $b$ и $c$ такие, что:
1. Прямые $b$ и $c$ лежат в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha, c \subset \alpha$).
2. Прямые $b$ и $c$ пересекаются ($b \cap c = M$).
3. Прямая $a$ перпендикулярна каждой из этих прямых ($a \perp b$ и $a \perp c$).
Если эти три условия выполнены, то можно утверждать, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Ответ: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку их пересечения. На практике для установления перпендикулярности прямой и плоскости используется признак: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.