Номер 10.8, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.8. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники со стороной 1, а боковые грани — квадраты со стороной 1.

Требуется найти расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $B_1C_1$.

Рассмотрим треугольник $AB_1C_1$. Искомое расстояние будет являться высотой этого треугольника, проведенной из вершины $A$ к стороне $B_1C_1$. Найдем длины сторон этого треугольника.

1. Сторона $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы, следовательно, ее длина равна 1.$B_1C_1 = 1$.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Эта грань является квадратом со стороной 1, так как призма правильная и все ребра равны 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABB_1$:$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $AB_1 = \sqrt{2}$.

3. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Эта грань также является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $AC_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является равнобедренным, так как $AB_1 = AC_1 = \sqrt{2}$.

Проведем в треугольнике $AB_1C_1$ высоту $AH$ к основанию $B_1C_1$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, точка $H$ — середина отрезка $B_1C_1$.

Найдем длину отрезка $B_1H$:$B_1H = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB_1$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора:$AH^2 + B_1H^2 = AB_1^2$.Подставим известные значения:$AH^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2$.$AH^2 + \frac{1}{4} = 2$.$AH^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.$AH = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Длина высоты $AH$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$.