Страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.9). Найдите расстояние от точки A до прямой:

а) $BB_1$;
б) $BA_1$;
в) $BC$;
г) $CD$;
д) $DE$;
е) $BD$;
ж) $BE$;
з) $BF$;
и) $CE$;
к) $CF$;
л) $A_1B_1$.

а) BB₁Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Это означает, что ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$, в том числе и прямой $AB$. Таким образом, отрезок $AB$ является перпендикуляром от точки $A$ к прямой $BB_1$. Длина этого перпендикуляра равна длине ребра $AB$, которая по условию составляет 1.Ответ: $1$.

б) BA₁Рассмотрим треугольник $ABA_1$. Расстояние от точки $A$ до прямой $BA_1$ — это высота этого треугольника, опущенная из вершины $A$. Так как призма правильная и прямая, грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной 1. Следовательно, $AB = 1$, $AA_1 = 1$ и угол $\angle A_1AB = 90^\circ$. Треугольник $ABA_1$ — прямоугольный. Длина гипотенузы $A_1B$ по теореме Пифагора равна $\sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Площадь треугольника $ABA_1$ можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} \cdot A_1B \cdot h$, где $h$ — искомое расстояние. Отсюда $h = \frac{2S}{A_1B} = \frac{2 \cdot (1/2)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) BCРасстояние от точки $A$ до прямой $BC$ находится в плоскости основания $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике внутренний угол равен $120^\circ$, то есть $\angle ABC = 120^\circ$. Для нахождения расстояния от $A$ до прямой $BC$ опустим перпендикуляр $AH$ из точки $A$ на прямую $BC$. Так как угол $\angle ABC$ тупой, точка $H$ будет лежать на продолжении отрезка $BC$ за точку $B$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Искомое расстояние $AH$ равно $AB \cdot \sin(\angle ABH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) CDРасстояние от точки $A$ до прямой $CD$ также находится в плоскости основания. В правильном шестиугольнике сторона $AF$ параллельна стороне $CD$. Поэтому расстояние от точки $A$ (которая лежит на прямой $AF$) до прямой $CD$ равно расстоянию между этими параллельными прямыми. Это расстояние равно сумме высот двух равносторонних треугольников $\triangle OAF$ и $\triangle OCD$ (где $O$ — центр шестиугольника), опущенных из общего центра $O$. Высота равностороннего треугольника со стороной 1 равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомое расстояние равно $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.Ответ: $\sqrt{3}$.

д) DEРасстояние от точки $A$ до прямой $DE$ находится в плоскости основания. В правильном шестиугольнике сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Следовательно, расстояние от точки $A$ (которая лежит на прямой $AB$) до прямой $DE$ равно расстоянию между этими параллельными прямыми. Это расстояние можно найти как сумму высот равносторонних треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle ODE$ (где $O$ — центр шестиугольника), опущенных из центра $O$. Высота каждого такого треугольника со стороной 1 равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомое расстояние равно $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.Ответ: $\sqrt{3}$.

е) BDРассмотрим треугольник $ABD$ в плоскости основания. Его стороны: $AB=1$ (ребро), $AD$ — большая диагональ шестиугольника, $AD=2$, $BD$ — малая диагональ. Длину $BD$ найдем по теореме косинусов в $\triangle BCD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$, откуда $BD = \sqrt{3}$. В треугольнике $ABD$ стороны равны $1, \sqrt{3}, 2$. Заметим, что $1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4=2^2$, то есть $AB^2 + BD^2 = AD^2$. По обратной теореме Пифагора, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Следовательно, $AB \perp BD$, и расстояние от точки $A$ до прямой $BD$ равно длине катета $AB$.Ответ: $1$.

ж) BEДиагональ $BE$ проходит через центр шестиугольника $O$. Расстояние от точки $A$ до прямой $BE$ — это высота треугольника $ABE$, опущенная из вершины $A$. Треугольник $AOB$ является равносторонним со стороной 1, так как $OA=OB=AB=1$. Прямая $BE$ содержит сторону $OB$ этого треугольника. Следовательно, искомое расстояние равно высоте треугольника $AOB$, опущенной из вершины $A$. Высота равностороннего треугольника со стороной 1 равна $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

з) BFРассмотрим треугольник $ABF$ в плоскости основания. Он является равнобедренным, так как $AB = AF = 1$. Расстояние от $A$ до прямой $BF$ — это высота, опущенная из $A$ на сторону $BF$. Пусть $M$ — середина отрезка $BF$. Тогда $AM$ — искомая высота. В правильном шестиугольнике со стороной 1 расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $FE$ равно $\sqrt{3}$. Точки $A$ и $D$ лежат на оси симметрии шестиугольника. Расстояние от $A$ до прямой $BF$ равно половине расстояния от $A$ до $C$ по горизонтали. В координатах: $A(1,0)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$. Прямая $BF$ задается уравнением $x=1/2$. Расстояние от точки $A(1,0)$ до этой прямой равно $|1 - 1/2| = 1/2$.Ответ: $\frac{1}{2}$.

и) CEПрямая $CE$ лежит в плоскости основания. В той же системе координат, что и в предыдущем пункте, вершины имеют координаты $C(-1/2, \sqrt{3}/2)$ и $E(-1/2, -\sqrt{3}/2)$. Прямая $CE$ является вертикальной и задается уравнением $x=-1/2$. Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $x=-1/2$ равно $|1 - (-1/2)| = |3/2| = 3/2$.Ответ: $\frac{3}{2}$.

к) CFДиагональ $CF$ проходит через центр шестиугольника $O$. Расстояние от точки $A$ до прямой $CF$ равно высоте треугольника $ACF$, опущенной из вершины $A$. Прямая $CF$ содержит сторону $OC$ треугольника $AOC$. Треугольник $AOC$ равнобедренный ($OA=OC=1$), угол между боковыми сторонами $\angle AOC = 120^\circ$. Площадь треугольника $AOC$ равна $S = \frac{1}{2} OA \cdot OC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} OC \cdot h$, где $h$ — высота из точки $A$ на прямую $OC$ (прямую $CF$). Тогда $h = \frac{2S}{OC} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

л) A₁B₁Прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости верхнего основания, а точка $A$ — в плоскости нижнего основания. Поскольку призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Следовательно, отрезок $AA_1$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A_1$, в том числе и прямой $A_1B_1$. Таким образом, расстояние от точки $A$ до прямой $A_1B_1$ равно длине перпендикуляра $AA_1$, которая по условию равна 1.Ответ: $1$.

10.6. В единичном кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите расстояние от точки A до прямой $CB_1$.

Для нахождения расстояния от точки $A$ до прямой $CB_1$ в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $C$ и $B_1$. Искомое расстояние является длиной высоты этого треугольника, опущенной из вершины $A$ на сторону $CB_1$.

Найдем длины сторон треугольника $ACB_1$. Так как куб единичный, длина каждого его ребра равна 1.

1. Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$, лежащего в основании куба. Из прямоугольного треугольника $ABC$ по теореме Пифагора находим:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

Следовательно, длина $AC = \sqrt{2}$.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Из прямоугольного треугольника $ABB_1$ по теореме Пифагора находим:

$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

Следовательно, длина $AB_1 = \sqrt{2}$.

3. Сторона $CB_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Из прямоугольного треугольника $BCC_1$ по теореме Пифагора находим:

$CB_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

Следовательно, длина $CB_1 = \sqrt{2}$.

Поскольку все три стороны треугольника $ACB_1$ равны $\sqrt{2}$, этот треугольник является равносторонним.

Расстояние от точки $A$ до прямой $CB_1$ — это высота $h$ равностороннего треугольника $ACB_1$ со стороной $s = \sqrt{2}$. Высоту равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

$h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$

Подставим в формулу значение длины стороны $s = \sqrt{2}$:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$

10.7. В тетраэдре $ABCD$ все ребра равны 1 (рис. 10.10). Найдите расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$.

Рис. 10.10

По условию задачи, $ABCD$ – это правильный тетраэдр, так как все его ребра равны 1. Это означает, что все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Точка $E$ – середина ребра $AD$. Требуется найти расстояние от точки $E$ до прямой $BC$. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Для решения задачи рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. Так как тетраэдр правильный, эти треугольники являются равносторонними со стороной 1.

В равностороннем треугольнике $ABD$ отрезок $BE$ соединяет вершину $B$ с серединой $E$ стороны $AD$. Следовательно, $BE$ является медианой. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой. Длину высоты (и медианы) равностороннего треугольника со стороной $a$ можно вычислить по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Аналогично, в равностороннем треугольнике $ACD$ отрезок $CE$ соединяет вершину $C$ с серединой $E$ стороны $AD$ и также является медианой. Его длина равна:

$CE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $BCE$. Мы знаем длины всех его сторон: $BC=1$ (по условию), $BE = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $CE = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $BE = CE$, треугольник $BCE$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Искомое расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ является длиной высоты треугольника $BCE$, проведенной из вершины $E$ к основанию $BC$. Обозначим эту высоту $EF$, где $F$ – это основание перпендикуляра на прямой $BC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Значит, высота $EF$ делит основание $BC$ пополам, и точка $F$ является серединой отрезка $BC$.

Следовательно, $BF = FC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $EFC$ (или $EFB$). По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:$EF^2 + FC^2 = EC^2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$EF^2 + (\frac{1}{2})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$EF^2 + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Выразим $EF^2$:

$EF^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем длину $EF$, взяв квадратный корень:

$EF = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

10.8. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.7). Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

По условию задачи, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники со стороной 1, а боковые грани — квадраты со стороной 1.

Требуется найти расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $B_1C_1$.

Рассмотрим треугольник $AB_1C_1$. Искомое расстояние будет являться высотой этого треугольника, проведенной из вершины $A$ к стороне $B_1C_1$. Найдем длины сторон этого треугольника.

1. Сторона $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы, следовательно, ее длина равна 1.$B_1C_1 = 1$.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Эта грань является квадратом со стороной 1, так как призма правильная и все ребра равны 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABB_1$:$AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $AB_1 = \sqrt{2}$.

3. Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Эта грань также является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$.Следовательно, $AC_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $AB_1C_1$ является равнобедренным, так как $AB_1 = AC_1 = \sqrt{2}$.

Проведем в треугольнике $AB_1C_1$ высоту $AH$ к основанию $B_1C_1$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, точка $H$ — середина отрезка $B_1C_1$.

Найдем длину отрезка $B_1H$:$B_1H = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB_1$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора:$AH^2 + B_1H^2 = AB_1^2$.Подставим известные значения:$AH^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2$.$AH^2 + \frac{1}{4} = 2$.$AH^2 = 2 - \frac{1}{4} = \frac{8}{4} - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.$AH = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Длина высоты $AH$ и есть искомое расстояние от точки $A$ до прямой $B_1C_1$.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

10.9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 10.8). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Рис. 10.8

Пусть SABCDEF — данная правильная шестиугольная пирамида. Стороны основания равны 1, то есть $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$. Боковые ребра равны 2, то есть $SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Расстояние от вершины S до прямой AC — это длина высоты, опущенной из точки S на прямую AC. Рассмотрим треугольник SAC. Боковые ребра SA и SC равны 2, значит, треугольник SAC — равнобедренный.

Для того чтобы найти высоту этого треугольника, нам нужно знать длину его основания AC. Сторона AC является диагональю в основании пирамиды — правильном шестиугольнике ABCDEF.

Рассмотрим треугольник ABC в основании. В нем $AB = BC = 1$. Угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника ABC найдем длину AC: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$. Следовательно, $AC = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к треугольнику SAC. Мы знаем его стороны: $SA = 2$, $SC = 2$, $AC = \sqrt{3}$. Искомое расстояние — это высота SH, проведенная из вершины S к основанию AC. Так как треугольник SAC равнобедренный, высота SH является также и медианой. Значит, точка H делит сторону AC пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SHA. По теореме Пифагора: $SA^2 = SH^2 + AH^2$ Выразим высоту SH: $SH^2 = SA^2 - AH^2 = 2^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}$. $SH = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Таким образом, расстояние от вершины S до прямой AC равно $\frac{\sqrt{13}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$.

10.10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра равны 1 (рис. 10.9). Найдите расстояние от точки А до прямой $B_1F_1$.

По условию задачи, в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1, и боковое ребро (высота призмы) также равно 1.

Требуется найти расстояние от точки $A$ до прямой $B_1F_1$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $B_1F_1$. Для нахождения этого расстояния рассмотрим треугольник $AB_1F_1$. Искомое расстояние будет равно высоте этого треугольника, проведенной из вершины $A$ к стороне $B_1F_1$.

Найдем длины сторон треугольника $AB_1F_1$.

1. Сторона $B_1F_1$ является меньшей диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной 1. Длина меньшей диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$. Таким образом, $B_1F_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Сторона $AB_1$ является диагональю боковой грани $ABB_1A_1$. Так как призма правильная и все ребра равны 1, грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABB_1$: $AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Следовательно, $AB_1 = \sqrt{2}$.

3. Аналогично, сторона $AF_1$ является диагональю боковой грани $AFF_1A_1$, которая также является квадратом со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AFF_1$: $AF_1^2 = AF^2 + FF_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Следовательно, $AF_1 = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $AB_1F_1$ — равнобедренный с основанием $B_1F_1$ и боковыми сторонами $AB_1 = AF_1 = \sqrt{2}$.

Пусть $AH$ — высота, проведенная из вершины $A$ к основанию $B_1F_1$. Длина $AH$ и есть искомое расстояние. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, точка $H$ является серединой отрезка $B_1F_1$.

Найдем длину отрезка $B_1H$: $B_1H = \frac{1}{2}B_1F_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AB_1H$ (угол $AHB_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB_1^2 = AH^2 + B_1H^2$.

Выразим $AH^2$:

$AH^2 = AB_1^2 - B_1H^2 = (\sqrt{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$.

Отсюда находим длину высоты $AH$:

$AH = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{2} $.