Страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.1. Дана прямая в пространстве, на ней взята точка. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?

9.1. Пусть дана прямая $l$ и точка $A$, принадлежащая этой прямой. В пространстве через точку $A$ можно провести единственную плоскость $\alpha$, перпендикулярную прямой $l$. Это следует из соответствующей теоремы стереометрии о существовании и единственности такой плоскости.
По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $l$ перпендикулярна любой прямой, которая лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку их пересечения, то есть через точку $A$.
В плоскости $\alpha$ через точку $A$ можно провести бесконечное множество различных прямых.
Таким образом, каждая из этих бесконечно многих прямых, лежащих в плоскости $\alpha$ и проходящих через точку $A$, будет перпендикулярна исходной прямой $l$.
Ответ: можно построить бесконечно много прямых.

9.2. Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?

Эта задача является классическим вопросом из курса евклидовой геометрии. Ответ на нее дает одна из фундаментальных теорем планиметрии.

Теорема о перпендикуляре к прямой гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.

Рассмотрим доказательство этого утверждения, которое состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности.

Пусть нам дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$).

Существование. Мы всегда можем построить перпендикуляр из точки к прямой (например, с помощью циркуля и линейки). Этот процесс построения сам по себе доказывает, что как минимум одна такая прямая существует. Эта прямая пройдет через точку $M$ и пересечет прямую $a$ в некоторой точке $H$ (основание перпендикуляра) так, что угол между ними будет прямым ($\angle MHa = 90^\circ$).

Единственность. Докажем, что такая прямая может быть только одна. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что через точку $M$ можно провести две разные прямые, $b_1$ и $b_2$, которые обе перпендикулярны прямой $a$.

Пусть прямая $b_1$ пересекает прямую $a$ в точке $H_1$, а прямая $b_2$ пересекает прямую $a$ в точке $H_2$. Поскольку $b_1 \perp a$ и $b_2 \perp a$, то углы $\angle MH_1H_2$ и $\angle MH_2H_1$ оба равны $90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MH_1H_2$. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. В нашем же случае сумма только двух углов $\angle MH_1H_2$ и $\angle MH_2H_1$ уже составляет $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Это означает, что третий угол, $\angle H_1MH_2$, должен быть равен $0^\circ$. Треугольник с углом в $0^\circ$ вырождается в отрезок, то есть точки $M$, $H_1$ и $H_2$ должны лежать на одной прямой. Это, в свою очередь, означает, что точки $H_1$ и $H_2$ должны совпадать.

Если точки пересечения $H_1$ и $H_2$ — это одна и та же точка, то и прямые $b_1$ (проходящая через точки $M$ и $H_1$) и $b_2$ (проходящая через точки $M$ и $H_2$) также совпадают, так как аксиома геометрии гласит, что через две точки можно провести только одну прямую.

Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что $b_1$ и $b_2$ — это разные прямые. Следовательно, наше предположение неверно.

Таким образом, через данную точку, не лежащую на прямой, можно построить ровно одну прямую, перпендикулярную данной.

Ответ: можно построить только одну такую прямую.

9.3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны. Верно ли это утверждение для пространства?

Нет, это утверждение неверно для пространства. В планиметрии данное утверждение верно и является теоремой. Однако в стереометрии (геометрии в пространстве) две прямые, перпендикулярные третьей прямой, могут быть не только параллельными, но также могут пересекаться или быть скрещивающимися.

Для того чтобы доказать неверность утверждения, достаточно привести хотя бы один контрпример, то есть случай, когда условие выполняется (две прямые перпендикулярны третьей), а заключение — нет (эти две прямые не параллельны).

Рассмотрим в качестве примера куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Выберем в качестве третьей прямой ребро $AA_1$.

2. Рассмотрим прямую $a$, проходящую через ребро $AB$. Поскольку грань $AA_1B_1B$ является квадратом, ее стороны $AB$ и $AA_1$ перпендикулярны. Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна прямой $AA_1$. Математически это записывается как $a \perp AA_1$ (или $AB \perp AA_1$).

3. Рассмотрим прямую $b$, проходящую через ребро $AD$. Поскольку грань $AA_1D_1D$ также является квадратом, ее стороны $AD$ и $AA_1$ перпендикулярны. Следовательно, прямая $b$ перпендикулярна прямой $AA_1$. Математически это записывается как $b \perp AA_1$ (или $AD \perp AA_1$).

Итак, мы имеем две прямые, $a$ ($AB$) и $b$ ($AD$), которые обе перпендикулярны одной и той же прямой $AA_1$. Однако прямые $a$ и $b$ не являются параллельными. Они пересекаются в точке $A$. Более того, они сами перпендикулярны друг другу, так как являются смежными сторонами квадрата $ABCD$ в основании куба.

Поскольку мы нашли пример пересекающихся прямых, которые удовлетворяют условию, общее утверждение о том, что они всегда параллельны, является ложным для пространства.

Стоит отметить, что такие прямые могут быть и параллельными (например, ребра $AB$ и $A_1B_1$ оба перпендикулярны ребру $AD$), и скрещивающимися (например, ребра $AB$ и $D_1C_1$ оба перпендикулярны ребру $AD$). Наличие хотя бы одного случая, где прямые не параллельны, делает исходное утверждение неверным для пространства.

Ответ: Нет, утверждение для пространства неверно.

9.4. Для куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, укажите ребра, перпендикулярные ребру $AB$ (рис. 9.8).

Рис. 9.8

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются квадратами, а ребра, сходящиеся в одной вершине, взаимно перпендикулярны. Необходимо найти все ребра, которые перпендикулярны ребру $AB$.
Прямые в пространстве (а значит, и ребра) считаются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. В кубе для нахождения таких ребер достаточно рассмотреть те, которые пересекают ребро $AB$ в одной из его вершин ($A$ или $B$) и образуют с ним прямой угол.

Ребра, пересекающие $AB$ в вершине A
С ребром $AB$ в вершине $A$ пересекаются два других ребра: $AD$ и $AA_1$.
- Ребра $AB$ и $AD$ являются смежными сторонами грани-квадрата $ABCD$. Углы квадрата прямые, поэтому ребра перпендикулярны: $AD \perp AB$.
- Ребра $AB$ и $AA_1$ являются смежными сторонами грани-квадрата $ABB_1A_1$. Следовательно, они также перпендикулярны: $AA_1 \perp AB$.

Ребра, пересекающие $AB$ в вершине B
С ребром $AB$ в вершине $B$ пересекаются два других ребра: $BC$ и $BB_1$.
- Ребра $AB$ и $BC$ являются смежными сторонами квадрата $ABCD$, следовательно, они перпендикулярны: $BC \perp AB$.
- Ребра $AB$ и $BB_1$ являются смежными сторонами квадрата $ABB_1A_1$, следовательно, они также перпендикулярны: $BB_1 \perp AB$.

Таким образом, ребру $AB$ перпендикулярны четыре ребра куба.

Ответ: $AD$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$.

9.5. Для правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ укажите ребра, перпендикулярные ребру $BB_1$ (рис. 9.9).

По определению, правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой призмой, в основаниях которой лежат правильные (равносторонние) треугольники. В прямой призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Ребро $BB_1$ является боковым ребром. Следовательно, оно перпендикулярно плоскости нижнего основания $ABC$ и плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$. Это можно записать как $BB_1 \perp (ABC)$ и $BB_1 \perp (A_1B_1C_1)$.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, ребро $BB_1$ перпендикулярно всем ребрам, которые лежат в плоскостях оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

Ребра, лежащие в плоскости нижнего основания $ABC$: $AB$, $BC$ и $AC$. Значит, ребро $BB_1$ перпендикулярно каждому из них.

Ребра, лежащие в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$: $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $A_1C_1$. Значит, ребро $BB_1$ перпендикулярно каждому из них.

Другие боковые ребра, $AA_1$ и $CC_1$, параллельны ребру $BB_1$ и, следовательно, не могут быть ему перпендикулярны.

Итак, ребру $BB_1$ перпендикулярны все ребра оснований призмы.

Ответ: $AB$, $BC$, $AC$, $A_1B_1$, $B_1C_1$, $A_1C_1$.

9.6. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AC$ и $B_1D_1$;

б) $AB$ и $B_1C_1$;

в) $AB_1$ и $BC_1$.

а) Прямые $AC$ и $B_1D_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$, а прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Так как плоскости оснований куба параллельны ($ABC \parallel A_1B_1C_1$), выполним параллельный перенос прямой $B_1D_1$ на прямую $BD$ в плоскость нижнего основания. Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1D_1$ по определению равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $BD$. Прямые $AC$ и $BD$ являются диагоналями квадрата $ABCD$. Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) Прямые $AB$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися. Прямая $B_1C_1$ параллельна прямой $BC$, так как они являются противоположными сторонами квадрата $BCC_1B_1$. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB$ и $BC$. Прямые $AB$ и $BC$ — это смежные рёбра куба, лежащие в основании $ABCD$. Угол между ними, $\angle ABC$, является углом квадрата, поэтому он равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

в) Прямые $AB_1$ и $BC_1$ являются скрещивающимися. Прямая $AB_1$ — диагональ грани $ABB_1A_1$. Прямая $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. Для нахождения угла между ними выполним параллельный перенос одной из прямых. Перенесем прямую $BC_1$ параллельно самой себе так, чтобы точка $B$ перешла в точку $A$. При таком переносе точка $C_1$ перейдет в точку $D_1$, так как вектор $\vec{BC_1}$ равен вектору $\vec{AD_1}$ (поскольку $BC \parallel AD$ и $CC_1 \parallel DD_1$). Таким образом, искомый угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $AD_1$, то есть углу $\angle B_1AD_1$. Рассмотрим треугольник $\triangle AB_1D_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда стороны этого треугольника являются диагоналями граней куба. Длина диагонали грани куба вычисляется по теореме Пифагора и равна $\sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$. Следовательно, все стороны треугольника $\triangle AB_1D_1$ равны: $AB_1 = AD_1 = B_1D_1 = a\sqrt{2}$. Это означает, что треугольник $\triangle AB_1D_1$ — равносторонний. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Значит, $\angle B_1AD_1 = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

9.7. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ найдите угол между прямыми:

а) $AB$ и $CC_1$;

б) $AB$ и $B_1C_1$.

а) В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Ребро $CC_1$ является боковым ребром, а прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABC$.
По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Так как $CC_1 \perp (ABC)$, а прямая $AB$ принадлежит плоскости $(ABC)$ (записывается как $AB \subset (ABC)$), то $CC_1 \perp AB$.
Угол между перпендикулярными прямыми составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) Прямые $AB$ и $B_1C_1$ являются скрещивающимися, так как они лежат в параллельных плоскостях оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ и не параллельны друг другу.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую.
В призме основания являются равными и параллельными многоугольниками, поэтому сторона $B_1C_1$ верхнего основания параллельна стороне $BC$ нижнего основания ($B_1C_1 \parallel BC$).
Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $BC$. Эти прямые пересекаются в точке $B$ и образуют угол $\angle ABC$, который является внутренним углом треугольника $ABC$.
Так как призма правильная, в её основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, $\angle ABC = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

9.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 9.10). Найдите угол между прямыми:

а) $AB$ и $SC$;

б) $SB$ и $SD$.

Рис. 9.10

а) Поскольку SABCD — правильная четырехугольная пирамида, в ее основании лежит квадрат ABCD. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Прямые AB и SC являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным. В основании пирамиды лежит квадрат, поэтому сторона AB параллельна стороне DC ($AB \parallel DC$). Следовательно, искомый угол между прямыми AB и SC равен углу между прямыми DC и SC. Эти прямые пересекаются в точке C и образуют угол $\angle SCD$. Рассмотрим треугольник SCD. По условию, все ребра пирамиды равны 1, значит, стороны этого треугольника равны: $SC = 1$, $DC = 1$ и $SD = 1$. Таким образом, треугольник SCD является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, угол $\angle SCD = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) Прямые SB и SD — это боковые ребра пирамиды, которые пересекаются в вершине S. Угол между ними — это угол $\angle BSD$, который является углом в треугольнике BSD. Найдем длины сторон треугольника BSD. По условию, боковые ребра $SB = 1$ и $SD = 1$. Сторона BD является диагональю квадрата ABCD в основании. Сторона квадрата равна 1. Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора найдем диагональ BD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда, $BD = \sqrt{2}$. Теперь рассмотрим треугольник BSD со сторонами $SB = 1$, $SD = 1$ и $BD = \sqrt{2}$. Чтобы найти угол $\angle BSD$, воспользуемся теоремой косинусов: $BD^2 = SB^2 + SD^2 - 2 \cdot SB \cdot SD \cdot \cos(\angle BSD)$. Подставим известные значения: $(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\angle BSD)$. $2 = 1 + 1 - 2 \cos(\angle BSD)$. $2 = 2 - 2 \cos(\angle BSD)$. $2 \cos(\angle BSD) = 0$. $\cos(\angle BSD) = 0$. Следовательно, угол $\angle BSD = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.