Страница 61 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что расстояние от данной точки до данной прямой меньше расстояния от этой точки до любой другой точки этой прямой.

Пусть дана точка A, не лежащая на прямой a. Требуется доказать, что расстояние от точки A до прямой a меньше расстояния от точки A до любой другой точки этой прямой.

1. По определению, расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведём из точки A перпендикуляр AH к прямой a, где H — основание перпендикуляра, точка, лежащая на прямой a. Длина отрезка AH и есть расстояние от точки A до прямой a.

2. Выберем на прямой a любую другую точку M, которая не совпадает с точкой H. Соединим точки A и M отрезком. Отрезок AM называется наклонной, проведённой из точки A к прямой a. Длина отрезка AM — это расстояние от точки A до точки M.

3. Рассмотрим треугольник, образованный точками A, H и M. Это треугольник $ΔAHM$.

4. Поскольку отрезок AH является перпендикуляром к прямой a, угол между ним и прямой a равен $90°$. Следовательно, угол $∠AHM$ — прямой, и треугольник $ΔAHM$ является прямоугольным.

5. В прямоугольном треугольнике $ΔAHM$ стороны AH и HM являются катетами, а сторона AM, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

6. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Это свойство следует, например, из теоремы Пифагора: $AM^2 = AH^2 + HM^2$. Так как точка M не совпадает с точкой H, то длина отрезка HM строго больше нуля ($HM > 0$), а значит и $HM^2 > 0$. Таким образом, $AM^2 > AH^2$. Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, из этого неравенства следует, что $AM > AH$.

7. Мы показали, что длина наклонной AM больше длины перпендикуляра AH. Так как точка M была выбрана на прямой a произвольно (при единственном условии, что она не совпадает с H), то наше рассуждение верно для любой точки на прямой, отличной от основания перпендикуляра.

Таким образом, доказано, что расстояние от точки A до прямой a (длина перпендикуляра AH) меньше, чем расстояние от точки A до любой другой точки M на этой прямой (длина наклонной AM).

Ответ: Утверждение доказано. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, который является катетом в прямоугольном треугольнике. Расстояние от этой же точки до любой другой точки на прямой является гипотенузой этого треугольника. Поскольку в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, расстояние от точки до прямой меньше расстояния от этой точки до любой другой точки на этой прямой.