Страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

б) $SB$ и $SD$.

9.9. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$ (рис. 9.11). Найдите угол между прямыми $AD$ и $BE$.

В основании правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$. В квадрате противоположные стороны параллельны, следовательно, прямая $AD$ параллельна прямой $BC$ ($AD \parallel BC$).

Угол между скрещивающимися прямыми $AD$ и $BE$ по определению равен углу между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую. Мы можем заменить прямую $AD$ на параллельную ей прямую $BC$. Таким образом, искомый угол между прямыми $AD$ и $BE$ равен углу между пересекающимися прямыми $BC$ и $BE$. Этот угол есть $\angle EBC$, который находится в плоскости грани $SBC$.

Рассмотрим треугольник $SBC$. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это значит, что $SB = BC = SC = 1$. Следовательно, треугольник $SBC$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, поэтому $\angle SBC = 60^\circ$.

Точка $E$ — середина ребра $SC$, согласно условию. Это означает, что отрезок $BE$ является медианой треугольника $SBC$, проведенной из вершины $B$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является биссектрисой угла, из которого она проведена.

Следовательно, $BE$ — это биссектриса угла $\angle SBC$. Она делит этот угол на два равных угла. Таким образом, величина угла $\angle EBC$ составляет половину величины угла $\angle SBC$.

$\angle EBC = \frac{1}{2} \angle SBC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Поскольку угол между $AD$ и $BE$ равен углу $\angle EBC$, искомый угол равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

прямыми AD и BE.

9.10. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 9.12). Найдите угол между прямыми SA и BC.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BC$ воспользуемся геометрическим методом. Угол между двумя скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и любой прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую.

Рассмотрим основание пирамиды — правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, а также сторона параллельна главной диагонали, которая соединяет две противолежащие вершины. В нашем случае сторона $BC$ параллельна главной диагонали $AD$. Это можно доказать, заметив, что $ABCD$ — равнобокая трапеция с основаниями $BC$ и $AD$.

Следовательно, угол между прямыми $SA$ и $BC$ равен углу между прямыми $SA$ и $AD$. Поскольку эти прямые пересекаются в точке $A$, искомый угол равен величине угла $\angle SAD$.

Найдем величину этого угла, рассмотрев треугольник $SAD$. Для этого определим длины его сторон.

По условию задачи, боковые ребра пирамиды равны 2. Значит, $SA = 2$ и $SD = 2$.

Стороны основания пирамиды равны 1. $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника в два раза больше длины его стороны. Таким образом, $AD = 2 \cdot BC = 2 \cdot 1 = 2$.

В треугольнике $SAD$ все три стороны равны: $SA = SD = AD = 2$.

Это означает, что треугольник $SAD$ является равносторонним. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$.

Следовательно, $\angle SAD = 60^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $SA$ и $BC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

9.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $DE_1$;

в) $AB$ и $B_1C_1$;

г) $AB$ и $C_1D_1$;

д) $AC$ и $B_1C_1$;

е) $AC$ и $B_1D_1$;

ж) $AC$ и $B_1E_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и также равны 1. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной 1.

а) AA₁ и BC₁
Поскольку призма прямая, боковое ребро `AA₁` параллельно боковому ребру `BB₁`. Следовательно, угол между прямыми `AA₁` и `BC₁` равен углу между прямыми `BB₁` и `BC₁`. Рассмотрим боковую грань `BCC₁B₁`. Так как основание - правильный многоугольник, а призма - прямая, эта грань является прямоугольником. По условию, `BC = 1` (сторона основания) и `BB₁ = 1` (боковое ребро). Таким образом, `BCC₁B₁` - квадрат. Прямая `BC₁` является диагональю этого квадрата. Угол между стороной квадрата `BB₁` и его диагональю `BC₁` равен `45^\circ`.

Ответ: $45^\circ$

б) AA₁ и DE₁
Аналогично пункту а), прямая `AA₁` параллельна прямой `DD₁`. Угол между `AA₁` и `DE₁` равен углу между `DD₁` и `DE₁`. Рассмотрим боковую грань `DEE₁D₁`. Эта грань также является квадратом со стороной 1, так как `DE = 1` и `DD₁ = 1`. Прямая `DE₁` является диагональю этого квадрата. Угол между стороной `DD₁` и диагональю `DE₁` равен `45^\circ`.

Ответ: $45^\circ$

в) AB и B₁C₁
Прямая `B₁C₁` лежит в плоскости верхнего основания и параллельна прямой `BC`, лежащей в плоскости нижнего основания. Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми `AB` и `B₁C₁` равен углу между пересекающимися прямыми `AB` и `BC`. Угол `\angle{ABC}` является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле `\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}`. Для шестиугольника (`n=6`) угол равен `\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ`. По определению, угол между двумя прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Поэтому искомый угол равен `180^\circ - 120^\circ = 60^\circ`.

Ответ: $60^\circ$

г) AB и C₁D₁
Прямая `C₁D₁` параллельна прямой `CD`. Искомый угол равен углу между прямыми `AB` и `CD` в плоскости основания. В правильном шестиугольнике `ABCDEF` противолежащие стороны попарно параллельны, но `AB` и `CD` не являются противолежащими. Однако, сторона `CD` параллельна стороне `AF`. Следовательно, угол между `AB` и `CD` равен углу между `AB` и `AF`. Угол `\angle{FAB}` является внутренним углом правильного шестиугольника, равным `120^\circ`. Искомый острый угол между прямыми равен `180^\circ - 120^\circ = 60^\circ`.

Ответ: $60^\circ$

д) AC и B₁C₁
Прямая `B₁C₁` параллельна прямой `BC`. Угол между `AC` и `B₁C₁` равен углу между `AC` и `BC`. Эти прямые пересекаются в точке `C` и образуют угол `\angle{BCA}`. Рассмотрим треугольник `ABC` в основании. Он равнобедренный, так как `AB = BC = 1`. Угол `\angle{ABC}` равен `120^\circ` (внутренний угол шестиугольника). Углы при основании `AC` равны: `\angle{BAC} = \angle{BCA} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ`. Таким образом, искомый угол `\angle{BCA}` равен `30^\circ`.

Ответ: $30^\circ$

Для решения следующих пунктов введем систему координат. Поместим начало координат `O` в центр нижнего основания `ABCDEF`. Ось `Ox` направим вдоль луча `OA`, ось `Oz` — вдоль ребра `AA₁`. Координаты вершин: `A(1, 0, 0)`, `B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`, `C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`, `D(-1, 0, 0)`. Вершины верхнего основания имеют те же координаты `x` и `y`, а координата `z` равна 1: `B₁(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)`, `D₁(-1, 0, 1)`, `E₁(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)`. Угол `\alpha` между прямыми с направляющими векторами `\vec{v_1}` и `\vec{v_2}` найдем по формуле: `\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}`.

е) AC и B₁D₁
Найдем направляющие векторы прямых. $\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. $\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вычислим длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$. $|\vec{B_1D_1}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$. Найдем скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = (-\frac{3}{2})(-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot 0 = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Теперь найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{|\frac{3}{2}|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$. $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

ж) AC и B₁E₁
Используем тот же подход. Вектор $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Найдем вектор $\vec{B_1E_1}$: $\vec{B_1E_1} = E_1 - B_1 = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$. Длина вектора $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$. Длина вектора $|\vec{B_1E_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = 2$. Найдем скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{B_1E_1} = (-\frac{3}{2})(-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$

9.12. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 9.12). Найдите косинус угла между прямыми:

а) $SA$ и $CD$;

б) $SA$ и $BD$.

а) SA и CD

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Следовательно, искомый угол между прямыми $SA$ и $CD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AF$, то есть $\angle SAF$.

Рассмотрим треугольник $SAF$. В нем стороны $SA$ и $SF$ являются боковыми ребрами пирамиды, а сторона $AF$ — стороной основания. По условию, $SA = SF = 2$, а $AF = 1$.

Найдем косинус угла $\angle SAF$ по теореме косинусов для треугольника $SAF$:

$SF^2 = SA^2 + AF^2 - 2 \cdot SA \cdot AF \cdot \cos(\angle SAF)$

Подставим известные значения:

$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAF)$

$4 = 4 + 1 - 4 \cos(\angle SAF)$

$0 = 1 - 4 \cos(\angle SAF)$

$4 \cos(\angle SAF) = 1$

$\cos(\angle SAF) = \frac{1}{4}$

Так как угол между прямыми по определению является острым или прямым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), его косинус должен быть неотрицательным. Значение $\frac{1}{4}$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) SA и BD

Аналогично пункту а), найдем угол между прямой $SA$ и прямой, параллельной $BD$ и проходящей через точку $A$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагональ $BD$ параллельна диагонали $AE$. Таким образом, искомый угол между прямыми $SA$ и $BD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AE$, то есть $\angle SAE$.

Рассмотрим треугольник $SAE$. В нем стороны $SA$ и $SE$ — боковые ребра пирамиды, а сторона $AE$ — малая диагональ шестиугольника в основании.

По условию, $SA = SE = 2$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Так как сторона основания равна 1, то $AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Найдем косинус угла $\angle SAE$ по теореме косинусов для треугольника $SAE$:

$SE^2 = SA^2 + AE^2 - 2 \cdot SA \cdot AE \cdot \cos(\angle SAE)$

Подставим известные значения:

$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$

$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cos(\angle SAE)$

$0 = 3 - 4\sqrt{3} \cos(\angle SAE)$

$4\sqrt{3} \cos(\angle SAE) = 3$

$\cos(\angle SAE) = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Полученное значение положительно, следовательно, это искомый косинус.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

9.13. Приведите примеры реальных объектов, идеализацией которых являются перпендикулярные прямые.

Идеализация в геометрии — это процесс мысленного упрощения реальных объектов, при котором мы отвлекаемся от их несущественных свойств (таких как толщина, кривизна, неровности) и рассматриваем только их фундаментальные геометрические характеристики. Перпендикулярные прямые — это абстрактная модель двух прямых, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). В окружающем нас мире существует множество объектов, которые при таком упрощении можно рассматривать как перпендикулярные прямые.

Угол комнаты. Линия, по которой сходятся две смежные стены, или линия, по которой стена примыкает к полу, являются наглядными примерами. Мы идеализируем стены и пол как идеально ровные плоскости, а линии их пересечения — как идеально прямые, образующие прямой угол.

Перекресток улиц. На карте или плане города две улицы, пересекающиеся под прямым углом, служат моделью перпендикулярных прямых. В этом случае мы пренебрегаем шириной улиц, их реальным рельефом и кривизной, рассматривая только их осевые линии.

Оконная рама или дверной проем. Смежные стороны рамы (вертикальная и горизонтальная) изготавливаются так, чтобы они соединялись под прямым углом. Их края можно рассматривать как отрезки перпендикулярных прямых.

Линии на листе в клетку. Горизонтальные и вертикальные линии на тетрадном листе или миллиметровой бумаге образуют сетку. Любая пара пересекающихся линий на таком листе представляет собой модель перпендикулярных прямых.

Вертикальный столб на ровной земле. Фонарный столб, мачта или любая другая вертикальная опора, установленная на ровной горизонтальной поверхности, является примером перпендикулярности. Прямая, содержащая столб, перпендикулярна любой прямой, лежащей на поверхности земли и проходящей через основание столба.

Перекрестие в оптических приборах. Нити в окуляре микроскопа, телескопа или в оптическом прицеле часто образуют перекрестие для точного наведения. Эти нити являются физической реализацией двух тонких перпендикулярных линий.

Во всех приведенных примерах мы имеем дело с идеализацией: мы отвлекаемся от физических свойств объектов (толщины, материала, незначительных отклонений от прямой линии или прямого угла) и представляем их в виде совершенных геометрических образов.

Ответ: Примерами реальных объектов, идеализацией которых являются перпендикулярные прямые, могут служить: пересечение двух смежных стен в комнате, перекресток двух перпендикулярных улиц, смежные стороны оконной рамы, линии сетки на листе в клетку, вертикально стоящий столб на ровной горизонтальной поверхности.

9.14. Повторите определение расстояния от точки до прямой на плоскости.

9.14. Расстояние от точки до прямой на плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Сформулируем определение более строго. Пусть на плоскости дана точка $M$ и прямая $a$.

1. Если точка $M$ принадлежит прямой $a$, то расстояние от точки $M$ до прямой $a$ равно нулю.

2. Если точка $M$ не принадлежит прямой $a$, то из точки $M$ можно опустить на прямую $a$ единственный перпендикуляр $MH$, где $H$ — точка на прямой $a$ (она называется основанием перпендикуляра). Длина этого перпендикуляра $MH$ и называется расстоянием от точки $M$ до прямой $a$.

Это расстояние является наименьшим из всех возможных расстояний от точки $M$ до любой точки, лежащей на прямой $a$. Отрезок, соединяющий точку $M$ с любой другой точкой $K$ на прямой $a$ (отличной от $H$), называется наклонной, и его длина всегда больше длины перпендикуляра $MH$.

В координатной геометрии расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле. Если точка имеет координаты $M(x_0, y_0)$, а прямая задана общим уравнением $Ax + By + C = 0$, то расстояние $d$ от точки $M$ до прямой вычисляется следующим образом:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В этой формуле:
• $x_0$ и $y_0$ — координаты данной точки.
• $A$, $B$, $C$ — коэффициенты из общего уравнения прямой.
• Знаменатель $\sqrt{A^2 + B^2}$ — это длина нормального вектора прямой $\vec{n}=(A, B)$.
• Числитель $|Ax_0 + By_0 + C|$ — это абсолютное значение (модуль) результата подстановки координат точки в левую часть уравнения прямой. Модуль используется, так как расстояние не может быть отрицательной величиной.

Пример:
Найдем расстояние от точки $M(3, 5)$ до прямой, заданной уравнением $4x + 3y - 6 = 0$.
Здесь $x_0 = 3$, $y_0 = 5$, $A = 4$, $B = 3$, $C = -6$.
Подставим эти значения в формулу:
$d = \frac{|4 \cdot 3 + 3 \cdot 5 - 6|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|12 + 15 - 6|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|21|}{\sqrt{25}} = \frac{21}{5} = 4.2$.
Таким образом, расстояние равно 4.2.

Ответ: Расстоянием от точки до прямой на плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной прямой. В координатах, для точки $M(x_0, y_0)$ и прямой $Ax + By + C = 0$, расстояние вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

9.15. Попробуйте определить понятие расстояния от точки до прямой в пространстве.

Понятие расстояния от точки до прямой в пространстве является естественным обобщением аналогичного понятия из планиметрии (геометрии на плоскости). Чтобы дать определение, рассмотрим точку $M$ и прямую $a$ в трехмерном пространстве.

Возможны два случая их взаимного расположения:
1. Точка $M$ лежит на прямой $a$. В этом случае расстояние от точки до прямой по определению равно нулю.
2. Точка $M$ не лежит на прямой $a$. В этом случае можно соединить точку $M$ отрезками с бесконечным множеством точек, лежащих на прямой $a$. Каждый такой отрезок, соединяющий $M$ с некоторой точкой $H$ на прямой $a$, называется наклонной, а точка $H$ — ее основанием. Длины этих наклонных будут различны. Интуитивно и математически, расстояние между точкой и прямой — это наименьшее из всех возможных расстояний от точки $M$ до точек на прямой $a$.

В геометрии доказывается, что кратчайшим отрезком, соединяющим точку с прямой, является перпендикуляр. Это означает, что на прямой $a$ существует единственная точка $H_0$, такая что отрезок $MH_0$ перпендикулярен прямой $a$ (это записывается как $MH_0 \perp a$). Отрезок $MH_0$ называют перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на прямую $a$, а точку $H_0$ — основанием перпендикуляра.

Уникальность этого перпендикуляра следует из того, что через прямую $a$ и не лежащую на ней точку $M$ проходит единственная плоскость. В этой плоскости задача сводится к известной планиметрической задаче, где из точки на прямую можно опустить лишь один перпендикуляр.

Если сравнить длину перпендикуляра $MH_0$ с длиной любой наклонной $MH$ (где $H \ne H_0$), то они образуют прямоугольный треугольник $\triangle MH_0H$, в котором $MH$ является гипотенузой, а $MH_0$ — катетом. Поскольку гипотенуза всегда длиннее катета, то $|MH| > |MH_0|$. Это подтверждает, что длина перпендикуляра является наименьшей.

Таким образом, формулируется строгое определение.

Определение: Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой прямой.

Ответ: Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Если точка принадлежит прямой, то это расстояние считается равным нулю.