Номер 9.11, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $DE_1$;

в) $AB$ и $B_1C_1$;

г) $AB$ и $C_1D_1$;

д) $AC$ и $B_1C_1$;

е) $AC$ и $B_1D_1$;

ж) $AC$ и $B_1E_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и также равны 1. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной 1.

а) AA₁ и BC₁
Поскольку призма прямая, боковое ребро `AA₁` параллельно боковому ребру `BB₁`. Следовательно, угол между прямыми `AA₁` и `BC₁` равен углу между прямыми `BB₁` и `BC₁`. Рассмотрим боковую грань `BCC₁B₁`. Так как основание - правильный многоугольник, а призма - прямая, эта грань является прямоугольником. По условию, `BC = 1` (сторона основания) и `BB₁ = 1` (боковое ребро). Таким образом, `BCC₁B₁` - квадрат. Прямая `BC₁` является диагональю этого квадрата. Угол между стороной квадрата `BB₁` и его диагональю `BC₁` равен `45^\circ`.

Ответ: $45^\circ$

б) AA₁ и DE₁
Аналогично пункту а), прямая `AA₁` параллельна прямой `DD₁`. Угол между `AA₁` и `DE₁` равен углу между `DD₁` и `DE₁`. Рассмотрим боковую грань `DEE₁D₁`. Эта грань также является квадратом со стороной 1, так как `DE = 1` и `DD₁ = 1`. Прямая `DE₁` является диагональю этого квадрата. Угол между стороной `DD₁` и диагональю `DE₁` равен `45^\circ`.

Ответ: $45^\circ$

в) AB и B₁C₁
Прямая `B₁C₁` лежит в плоскости верхнего основания и параллельна прямой `BC`, лежащей в плоскости нижнего основания. Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми `AB` и `B₁C₁` равен углу между пересекающимися прямыми `AB` и `BC`. Угол `\angle{ABC}` является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле `\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}`. Для шестиугольника (`n=6`) угол равен `\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ`. По определению, угол между двумя прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Поэтому искомый угол равен `180^\circ - 120^\circ = 60^\circ`.

Ответ: $60^\circ$

г) AB и C₁D₁
Прямая `C₁D₁` параллельна прямой `CD`. Искомый угол равен углу между прямыми `AB` и `CD` в плоскости основания. В правильном шестиугольнике `ABCDEF` противолежащие стороны попарно параллельны, но `AB` и `CD` не являются противолежащими. Однако, сторона `CD` параллельна стороне `AF`. Следовательно, угол между `AB` и `CD` равен углу между `AB` и `AF`. Угол `\angle{FAB}` является внутренним углом правильного шестиугольника, равным `120^\circ`. Искомый острый угол между прямыми равен `180^\circ - 120^\circ = 60^\circ`.

Ответ: $60^\circ$

д) AC и B₁C₁
Прямая `B₁C₁` параллельна прямой `BC`. Угол между `AC` и `B₁C₁` равен углу между `AC` и `BC`. Эти прямые пересекаются в точке `C` и образуют угол `\angle{BCA}`. Рассмотрим треугольник `ABC` в основании. Он равнобедренный, так как `AB = BC = 1`. Угол `\angle{ABC}` равен `120^\circ` (внутренний угол шестиугольника). Углы при основании `AC` равны: `\angle{BAC} = \angle{BCA} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ`. Таким образом, искомый угол `\angle{BCA}` равен `30^\circ`.

Ответ: $30^\circ$

Для решения следующих пунктов введем систему координат. Поместим начало координат `O` в центр нижнего основания `ABCDEF`. Ось `Ox` направим вдоль луча `OA`, ось `Oz` — вдоль ребра `AA₁`. Координаты вершин: `A(1, 0, 0)`, `B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`, `C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)`, `D(-1, 0, 0)`. Вершины верхнего основания имеют те же координаты `x` и `y`, а координата `z` равна 1: `B₁(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)`, `D₁(-1, 0, 1)`, `E₁(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)`. Угол `\alpha` между прямыми с направляющими векторами `\vec{v_1}` и `\vec{v_2}` найдем по формуле: `\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}`.

е) AC и B₁D₁
Найдем направляющие векторы прямых. $\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. $\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вычислим длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$. $|\vec{B_1D_1}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$. Найдем скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = (-\frac{3}{2})(-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot 0 = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Теперь найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{|\frac{3}{2}|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$. $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

ж) AC и B₁E₁
Используем тот же подход. Вектор $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Найдем вектор $\vec{B_1E_1}$: $\vec{B_1E_1} = E_1 - B_1 = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$. Длина вектора $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$. Длина вектора $|\vec{B_1E_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = 2$. Найдем скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{B_1E_1} = (-\frac{3}{2})(-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$