Номер 9.11, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 9.13). Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $BC_1$;

б) $AA_1$ и $DE_1$;

в) $AB$ и $B_1C_1$;

г) $AB$ и $C_1D_1$;

д) $AC$ и $B_1C_1$;

е) $AC$ и $B_1D_1$;

ж) $AC$ и $B_1E_1$.

В данной задаче рассматривается правильная шестиугольная призма, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и также равны 1. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной 1.

а) AA₁ и BC₁
Поскольку призма прямая, боковое ребро $AA₁$ параллельно боковому ребру $BB₁$. Следовательно, угол между прямыми $AA₁$ и $BC₁$ равен углу между прямыми $BB₁$ и $BC₁$. Рассмотрим боковую грань $BCC₁B₁$. Так как основание - правильный многоугольник, а призма - прямая, эта грань является прямоугольником. По условию, $BC = 1$ (сторона основания) и $BB₁ = 1$ (боковое ребро). Таким образом, $BCC₁B₁$ - квадрат. Прямая $BC₁$ является диагональю этого квадрата. Угол между стороной квадрата $BB₁$ и его диагональю $BC₁$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

б) AA₁ и DE₁
Аналогично пункту а), прямая $AA₁$ параллельна прямой $DD₁$. Угол между $AA₁$ и $DE₁$ равен углу между $DD₁$ и $DE₁$. Рассмотрим боковую грань $DEE₁D₁$. Эта грань также является квадратом со стороной 1, так как $DE = 1$ и $DD₁ = 1$. Прямая $DE₁$ является диагональю этого квадрата. Угол между стороной $DD₁$ и диагональю $DE₁$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

в) AB и B₁C₁
Прямая $B₁C₁$ лежит в плоскости верхнего основания и параллельна прямой $BC$, лежащей в плоскости нижнего основания. Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B₁C₁$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB$ и $BC$. Угол $\angle{ABC}$ является внутренним углом правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для шестиугольника ($n=6$) угол равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. По определению, угол между двумя прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Поэтому искомый угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

г) AB и C₁D₁
Прямая $C₁D₁$ параллельна прямой $CD$. Искомый угол равен углу между прямыми $AB$ и $CD$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны попарно параллельны, но $AB$ и $CD$ не являются противолежащими. Однако, сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Следовательно, угол между $AB$ и $CD$ равен углу между $AB$ и $AF$. Угол $\angle{FAB}$ является внутренним углом правильного шестиугольника, равным $120^\circ$. Искомый острый угол между прямыми равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

д) AC и B₁C₁
Прямая $B₁C₁$ параллельна прямой $BC$. Угол между $AC$ и $B₁C₁$ равен углу между $AC$ и $BC$. Эти прямые пересекаются в точке $C$ и образуют угол $\angle{BCA}$. Рассмотрим треугольник $ABC$ в основании. Он равнобедренный, так как $AB = BC = 1$. Угол $\angle{ABC}$ равен $120^\circ$ (внутренний угол шестиугольника). Углы при основании $AC$ равны: $\angle{BAC} = \angle{BCA} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$. Таким образом, искомый угол $\angle{BCA}$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

Для решения следующих пунктов введем систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим вдоль луча $OA$, ось $Oz$ — вдоль ребра $AA₁$. Координаты вершин: $A(1, 0, 0)$, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $D(-1, 0, 0)$. Вершины верхнего основания имеют те же координаты $x$ и $y$, а координата $z$ равна 1: $B₁(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $D₁(-1, 0, 1)$, $E₁(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Угол $\alpha$ между прямыми с направляющими векторами $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ найдем по формуле: $\cos(\alpha) = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.

е) AC и B₁D₁
Найдем направляющие векторы прямых. $\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. $\vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (-1-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Вычислим длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$. $|\vec{B_1D_1}| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}$. Найдем скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{B_1D_1} = (-\frac{3}{2})(-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0 \cdot 0 = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. Теперь найдем косинус угла: $\cos(\alpha) = \frac{|\frac{3}{2}|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$. $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

ж) AC и B₁E₁
Используем тот же подход. Вектор $\vec{AC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Найдем вектор $\vec{B_1E_1}$: $\vec{B_1E_1} = E_1 - B_1 = (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1-1) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$. Длина вектора $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$. Длина вектора $|\vec{B_1E_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1+3} = 2$. Найдем скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{B_1E_1} = (-\frac{3}{2})(-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) + 0 \cdot 0 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.

Ответ: $90^\circ$