Номер 9.14, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.14. Повторите определение расстояния от точки до прямой на плоскости.

9.14. Расстояние от точки до прямой на плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Сформулируем определение более строго. Пусть на плоскости дана точка $M$ и прямая $a$.

1. Если точка $M$ принадлежит прямой $a$, то расстояние от точки $M$ до прямой $a$ равно нулю.

2. Если точка $M$ не принадлежит прямой $a$, то из точки $M$ можно опустить на прямую $a$ единственный перпендикуляр $MH$, где $H$ — точка на прямой $a$ (она называется основанием перпендикуляра). Длина этого перпендикуляра $MH$ и называется расстоянием от точки $M$ до прямой $a$.

Это расстояние является наименьшим из всех возможных расстояний от точки $M$ до любой точки, лежащей на прямой $a$. Отрезок, соединяющий точку $M$ с любой другой точкой $K$ на прямой $a$ (отличной от $H$), называется наклонной, и его длина всегда больше длины перпендикуляра $MH$.

В координатной геометрии расстояние от точки до прямой можно вычислить по формуле. Если точка имеет координаты $M(x_0, y_0)$, а прямая задана общим уравнением $Ax + By + C = 0$, то расстояние $d$ от точки $M$ до прямой вычисляется следующим образом:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В этой формуле:
• $x_0$ и $y_0$ — координаты данной точки.
• $A$, $B$, $C$ — коэффициенты из общего уравнения прямой.
• Знаменатель $\sqrt{A^2 + B^2}$ — это длина нормального вектора прямой $\vec{n}=(A, B)$.
• Числитель $|Ax_0 + By_0 + C|$ — это абсолютное значение (модуль) результата подстановки координат точки в левую часть уравнения прямой. Модуль используется, так как расстояние не может быть отрицательной величиной.

Пример:
Найдем расстояние от точки $M(3, 5)$ до прямой, заданной уравнением $4x + 3y - 6 = 0$.
Здесь $x_0 = 3$, $y_0 = 5$, $A = 4$, $B = 3$, $C = -6$.
Подставим эти значения в формулу:
$d = \frac{|4 \cdot 3 + 3 \cdot 5 - 6|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|12 + 15 - 6|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|21|}{\sqrt{25}} = \frac{21}{5} = 4.2$.
Таким образом, расстояние равно 4.2.

Ответ: Расстоянием от точки до прямой на плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной прямой. В координатах, для точки $M(x_0, y_0)$ и прямой $Ax + By + C = 0$, расстояние вычисляется по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.