Номер 9.12, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.12. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 9.12). Найдите косинус угла между прямыми:

а) $SA$ и $CD$;

б) $SA$ и $BD$.

а) SA и CD

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из этих прямых и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Следовательно, искомый угол между прямыми $SA$ и $CD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AF$, то есть $\angle SAF$.

Рассмотрим треугольник $SAF$. В нем стороны $SA$ и $SF$ являются боковыми ребрами пирамиды, а сторона $AF$ — стороной основания. По условию, $SA = SF = 2$, а $AF = 1$.

Найдем косинус угла $\angle SAF$ по теореме косинусов для треугольника $SAF$:

$SF^2 = SA^2 + AF^2 - 2 \cdot SA \cdot AF \cdot \cos(\angle SAF)$

Подставим известные значения:

$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAF)$

$4 = 4 + 1 - 4 \cos(\angle SAF)$

$0 = 1 - 4 \cos(\angle SAF)$

$4 \cos(\angle SAF) = 1$

$\cos(\angle SAF) = \frac{1}{4}$

Так как угол между прямыми по определению является острым или прямым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), его косинус должен быть неотрицательным. Значение $\frac{1}{4}$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) SA и BD

Аналогично пункту а), найдем угол между прямой $SA$ и прямой, параллельной $BD$ и проходящей через точку $A$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагональ $BD$ параллельна диагонали $AE$. Таким образом, искомый угол между прямыми $SA$ и $BD$ равен углу между прямыми $SA$ и $AE$, то есть $\angle SAE$.

Рассмотрим треугольник $SAE$. В нем стороны $SA$ и $SE$ — боковые ребра пирамиды, а сторона $AE$ — малая диагональ шестиугольника в основании.

По условию, $SA = SE = 2$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Так как сторона основания равна 1, то $AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Найдем косинус угла $\angle SAE$ по теореме косинусов для треугольника $SAE$:

$SE^2 = SA^2 + AE^2 - 2 \cdot SA \cdot AE \cdot \cos(\angle SAE)$

Подставим известные значения:

$2^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle SAE)$

$4 = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \cos(\angle SAE)$

$0 = 3 - 4\sqrt{3} \cos(\angle SAE)$

$4\sqrt{3} \cos(\angle SAE) = 3$

$\cos(\angle SAE) = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot (\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Полученное значение положительно, следовательно, это искомый косинус.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.