Вопросы, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется расстоянием от точки до прямой в пространстве?

2. Какие геометрические факты используют для нахождения расстояния от точки до прямой?

1. Что называется расстоянием от точки до прямой в пространстве?

Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую.

Пусть дана точка $A$ и прямая $a$, не проходящая через точку $A$. Через точку $A$ и прямую $a$ проходит единственная плоскость. В этой плоскости из точки $A$ опускается перпендикуляр $AH$ на прямую $a$, где $H$ — основание перпендикуляра, то есть точка пересечения перпендикуляра с прямой $a$. Длина отрезка $AH$ и является искомым расстоянием.

Это расстояние является наименьшим из всех возможных расстояний от точки $A$ до любой точки $M$, лежащей на прямой $a$. Это свойство следует из того, что в любом прямоугольном треугольнике $AHM$ (с прямым углом при вершине $H$) отрезок $AH$ является катетом, а отрезок $AM$ — гипотенузой. Как известно, катет всегда короче гипотенузы, то есть $AH < AM$ для любой точки $M$ на прямой $a$, не совпадающей с $H$.

Ответ: Расстояние от точки до прямой в пространстве — это длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной прямой.

2. Какие геометрические факты используют для нахождения расстояния от точки до прямой?

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве используют различные геометрические факты и методы, которые чаще всего позволяют свести пространственную задачу к более простой планиметрической задаче. Основные из них:

• Построение и расчет элементов прямоугольного треугольника. Часто искомое расстояние (перпендикуляр) оказывается катетом в некотором прямоугольном треугольнике. Если известны другие элементы этого треугольника (например, гипотенуза и угол, или гипотенуза и другой катет), то расстояние можно вычислить с помощью теоремы Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$) или тригонометрических соотношений ($\sin$, $\cos$, $\tan$).

• Метод площадей. Расстояние от точки $A$ до прямой $b$ можно рассматривать как высоту треугольника. Для этого на прямой $b$ выбирают две точки $B$ и $C$. Тогда искомое расстояние будет высотой $h_a$ треугольника $ABC$, опущенной из вершины $A$ на сторону $BC$. Площадь $S$ этого треугольника можно найти, например, по формуле Герона (если известны все стороны) или по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$ (если известны две стороны и угол между ними). Зная площадь $S$ и длину основания $BC$, можно вычислить высоту (расстояние) по формуле $h_a = \frac{2S}{|BC|}$.

• Теорема о трех перпендикулярах. Это одна из ключевых теорем стереометрии для задач на нахождение расстояний. Теорема гласит: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной. Эта теорема помогает доказать, что построенный отрезок действительно является перпендикуляром к прямой, и позволяет свести задачу к вычислению длины этого отрезка в более простой конфигурации, как правило, в прямоугольном треугольнике.

• Координатно-векторный метод. Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то расстояние $d$ от точки $A(x_A, y_A, z_A)$ до прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей направляющий вектор $\vec{s}=\{l; m; n\}$, можно найти с помощью векторной алгебры по формуле: $d = \frac{|\vec{M_0A} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$. Этот метод универсален и особенно эффективен, когда геометрические построения затруднительны.

Ответ: Для нахождения расстояния от точки до прямой используют теорему Пифагора и тригонометрические функции в прямоугольных треугольниках, метод площадей, теорему о трех перпендикулярах, а также координатно-векторный метод.