Номер 10.7, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.7. В тетраэдре $ABCD$ все ребра равны 1 (рис. 10.10). Найдите расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$.

Рис. 10.10

По условию задачи, $ABCD$ – это правильный тетраэдр, так как все его ребра равны 1. Это означает, что все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной 1.

Точка $E$ – середина ребра $AD$. Требуется найти расстояние от точки $E$ до прямой $BC$. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Для решения задачи рассмотрим треугольники $ABD$ и $ACD$. Так как тетраэдр правильный, эти треугольники являются равносторонними со стороной 1.

В равностороннем треугольнике $ABD$ отрезок $BE$ соединяет вершину $B$ с серединой $E$ стороны $AD$. Следовательно, $BE$ является медианой. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой. Длину высоты (и медианы) равностороннего треугольника со стороной $a$ можно вычислить по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$BE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Аналогично, в равностороннем треугольнике $ACD$ отрезок $CE$ соединяет вершину $C$ с серединой $E$ стороны $AD$ и также является медианой. Его длина равна:

$CE = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $BCE$. Мы знаем длины всех его сторон: $BC=1$ (по условию), $BE = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $CE = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку $BE = CE$, треугольник $BCE$ является равнобедренным с основанием $BC$.

Искомое расстояние от точки $E$ до прямой $BC$ является длиной высоты треугольника $BCE$, проведенной из вершины $E$ к основанию $BC$. Обозначим эту высоту $EF$, где $F$ – это основание перпендикуляра на прямой $BC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Значит, высота $EF$ делит основание $BC$ пополам, и точка $F$ является серединой отрезка $BC$.

Следовательно, $BF = FC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $EFC$ (или $EFB$). По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:$EF^2 + FC^2 = EC^2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$EF^2 + (\frac{1}{2})^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$EF^2 + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Выразим $EF^2$:

$EF^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем длину $EF$, взяв квадратный корень:

$EF = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние от середины $E$ ребра $AD$ до прямой $BC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$