Номер 10.9, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 2 (рис. 10.8). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$.

Рис. 10.8

Пусть SABCDEF — данная правильная шестиугольная пирамида. Стороны основания равны 1, то есть $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$. Боковые ребра равны 2, то есть $SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Расстояние от вершины S до прямой AC — это длина высоты, опущенной из точки S на прямую AC. Рассмотрим треугольник SAC. Боковые ребра SA и SC равны 2, значит, треугольник SAC — равнобедренный.

Для того чтобы найти высоту этого треугольника, нам нужно знать длину его основания AC. Сторона AC является диагональю в основании пирамиды — правильном шестиугольнике ABCDEF.

Рассмотрим треугольник ABC в основании. В нем $AB = BC = 1$. Угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Таким образом, $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника ABC найдем длину AC: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$ $AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$. Следовательно, $AC = \sqrt{3}$.

Теперь вернемся к треугольнику SAC. Мы знаем его стороны: $SA = 2$, $SC = 2$, $AC = \sqrt{3}$. Искомое расстояние — это высота SH, проведенная из вершины S к основанию AC. Так как треугольник SAC равнобедренный, высота SH является также и медианой. Значит, точка H делит сторону AC пополам: $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SHA. По теореме Пифагора: $SA^2 = SH^2 + AH^2$ Выразим высоту SH: $SH^2 = SA^2 - AH^2 = 2^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16 - 3}{4} = \frac{13}{4}$. $SH = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Таким образом, расстояние от вершины S до прямой AC равно $\frac{\sqrt{13}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$.