Номер 10.2, страница 62 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.2. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 10.6). Найдите расстояние от вершины $S$ до прямой:

а) $AB$;

б) $AC$.

По условию задачи, дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$ со стороной 1, а боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1.

а) Расстояние от вершины $S$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $AB$. Этот перпендикуляр является высотой треугольника $SAB$.

Рассмотрим треугольник $SAB$. Его стороны: $SA = 1$ (боковое ребро), $SB = 1$ (боковое ребро), $AB = 1$ (ребро основания). Так как все стороны равны, треугольник $SAB$ является равносторонним.

Высота $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a = 1$, поэтому расстояние от $S$ до $AB$ равно:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

б) Расстояние от вершины $S$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $AC$. Этот перпендикуляр является высотой треугольника $SAC$.

Рассмотрим треугольник $SAC$. Его стороны: $SA = 1$ и $SC = 1$ (боковые ребра). Сторона $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ в основании. Найдем ее длину по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Итак, треугольник $SAC$ — равнобедренный с основанием $AC = \sqrt{2}$ и боковыми сторонами $SA = SC = 1$.

Пусть $SO$ — высота, проведенная к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой. Значит, точка $O$ — середина диагонали $AC$.

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (угол $SOA = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем катет $SO$, который и является искомым расстоянием:

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

$1^2 = SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$1 = SO^2 + \frac{2}{4}$

$1 = SO^2 + \frac{1}{2}$

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$