Номер 10.5, страница 63 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10.5. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны 1 (рис. 10.9). Найдите расстояние от точки A до прямой:

а) $BB_1$;
б) $BA_1$;
в) $BC$;
г) $CD$;
д) $DE$;
е) $BD$;
ж) $BE$;
з) $BF$;
и) $CE$;
к) $CF$;
л) $A_1B_1$.

а) BB₁Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Это означает, что ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$, в том числе и прямой $AB$. Таким образом, отрезок $AB$ является перпендикуляром от точки $A$ к прямой $BB_1$. Длина этого перпендикуляра равна длине ребра $AB$, которая по условию составляет 1.Ответ: $1$.

б) BA₁Рассмотрим треугольник $ABA_1$. Расстояние от точки $A$ до прямой $BA_1$ — это высота этого треугольника, опущенная из вершины $A$. Так как призма правильная и прямая, грань $ABB_1A_1$ является квадратом со стороной 1. Следовательно, $AB = 1$, $AA_1 = 1$ и угол $\angle A_1AB = 90^\circ$. Треугольник $ABA_1$ — прямоугольный. Длина гипотенузы $A_1B$ по теореме Пифагора равна $\sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Площадь треугольника $ABA_1$ можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} \cdot A_1B \cdot h$, где $h$ — искомое расстояние. Отсюда $h = \frac{2S}{A_1B} = \frac{2 \cdot (1/2)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

в) BCРасстояние от точки $A$ до прямой $BC$ находится в плоскости основания $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике внутренний угол равен $120^\circ$, то есть $\angle ABC = 120^\circ$. Для нахождения расстояния от $A$ до прямой $BC$ опустим перпендикуляр $AH$ из точки $A$ на прямую $BC$. Так как угол $\angle ABC$ тупой, точка $H$ будет лежать на продолжении отрезка $BC$ за точку $B$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ угол $\angle ABH = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Искомое расстояние $AH$ равно $AB \cdot \sin(\angle ABH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) CDРасстояние от точки $A$ до прямой $CD$ также находится в плоскости основания. В правильном шестиугольнике сторона $AF$ параллельна стороне $CD$. Поэтому расстояние от точки $A$ (которая лежит на прямой $AF$) до прямой $CD$ равно расстоянию между этими параллельными прямыми. Это расстояние равно сумме высот двух равносторонних треугольников $\triangle OAF$ и $\triangle OCD$ (где $O$ — центр шестиугольника), опущенных из общего центра $O$. Высота равностороннего треугольника со стороной 1 равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомое расстояние равно $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.Ответ: $\sqrt{3}$.

д) DEРасстояние от точки $A$ до прямой $DE$ находится в плоскости основания. В правильном шестиугольнике сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Следовательно, расстояние от точки $A$ (которая лежит на прямой $AB$) до прямой $DE$ равно расстоянию между этими параллельными прямыми. Это расстояние можно найти как сумму высот равносторонних треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle ODE$ (где $O$ — центр шестиугольника), опущенных из центра $O$. Высота каждого такого треугольника со стороной 1 равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, искомое расстояние равно $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.Ответ: $\sqrt{3}$.

е) BDРассмотрим треугольник $ABD$ в плоскости основания. Его стороны: $AB=1$ (ребро), $AD$ — большая диагональ шестиугольника, $AD=2$, $BD$ — малая диагональ. Длину $BD$ найдем по теореме косинусов в $\triangle BCD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 3$, откуда $BD = \sqrt{3}$. В треугольнике $ABD$ стороны равны $1, \sqrt{3}, 2$. Заметим, что $1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1+3=4=2^2$, то есть $AB^2 + BD^2 = AD^2$. По обратной теореме Пифагора, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Следовательно, $AB \perp BD$, и расстояние от точки $A$ до прямой $BD$ равно длине катета $AB$.Ответ: $1$.

ж) BEДиагональ $BE$ проходит через центр шестиугольника $O$. Расстояние от точки $A$ до прямой $BE$ — это высота треугольника $ABE$, опущенная из вершины $A$. Треугольник $AOB$ является равносторонним со стороной 1, так как $OA=OB=AB=1$. Прямая $BE$ содержит сторону $OB$ этого треугольника. Следовательно, искомое расстояние равно высоте треугольника $AOB$, опущенной из вершины $A$. Высота равностороннего треугольника со стороной 1 равна $\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

з) BFРассмотрим треугольник $ABF$ в плоскости основания. Он является равнобедренным, так как $AB = AF = 1$. Расстояние от $A$ до прямой $BF$ — это высота, опущенная из $A$ на сторону $BF$. Пусть $M$ — середина отрезка $BF$. Тогда $AM$ — искомая высота. В правильном шестиугольнике со стороной 1 расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $FE$ равно $\sqrt{3}$. Точки $A$ и $D$ лежат на оси симметрии шестиугольника. Расстояние от $A$ до прямой $BF$ равно половине расстояния от $A$ до $C$ по горизонтали. В координатах: $A(1,0)$, $B(1/2, \sqrt{3}/2)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2)$. Прямая $BF$ задается уравнением $x=1/2$. Расстояние от точки $A(1,0)$ до этой прямой равно $|1 - 1/2| = 1/2$.Ответ: $\frac{1}{2}$.

и) CEПрямая $CE$ лежит в плоскости основания. В той же системе координат, что и в предыдущем пункте, вершины имеют координаты $C(-1/2, \sqrt{3}/2)$ и $E(-1/2, -\sqrt{3}/2)$. Прямая $CE$ является вертикальной и задается уравнением $x=-1/2$. Расстояние от точки $A(1,0)$ до прямой $x=-1/2$ равно $|1 - (-1/2)| = |3/2| = 3/2$.Ответ: $\frac{3}{2}$.

к) CFДиагональ $CF$ проходит через центр шестиугольника $O$. Расстояние от точки $A$ до прямой $CF$ равно высоте треугольника $ACF$, опущенной из вершины $A$. Прямая $CF$ содержит сторону $OC$ треугольника $AOC$. Треугольник $AOC$ равнобедренный ($OA=OC=1$), угол между боковыми сторонами $\angle AOC = 120^\circ$. Площадь треугольника $AOC$ равна $S = \frac{1}{2} OA \cdot OC \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$. С другой стороны, $S = \frac{1}{2} OC \cdot h$, где $h$ — высота из точки $A$ на прямую $OC$ (прямую $CF$). Тогда $h = \frac{2S}{OC} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}/4)}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

л) A₁B₁Прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости верхнего основания, а точка $A$ — в плоскости нижнего основания. Поскольку призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Следовательно, отрезок $AA_1$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A_1$, в том числе и прямой $A_1B_1$. Таким образом, расстояние от точки $A$ до прямой $A_1B_1$ равно длине перпендикуляра $AA_1$, которая по условию равна 1.Ответ: $1$.