Номер 9.15, страница 60 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.15. Попробуйте определить понятие расстояния от точки до прямой в пространстве.

Понятие расстояния от точки до прямой в пространстве является естественным обобщением аналогичного понятия из планиметрии (геометрии на плоскости). Чтобы дать определение, рассмотрим точку $M$ и прямую $a$ в трехмерном пространстве.

Возможны два случая их взаимного расположения:
1. Точка $M$ лежит на прямой $a$. В этом случае расстояние от точки до прямой по определению равно нулю.
2. Точка $M$ не лежит на прямой $a$. В этом случае можно соединить точку $M$ отрезками с бесконечным множеством точек, лежащих на прямой $a$. Каждый такой отрезок, соединяющий $M$ с некоторой точкой $H$ на прямой $a$, называется наклонной, а точка $H$ — ее основанием. Длины этих наклонных будут различны. Интуитивно и математически, расстояние между точкой и прямой — это наименьшее из всех возможных расстояний от точки $M$ до точек на прямой $a$.

В геометрии доказывается, что кратчайшим отрезком, соединяющим точку с прямой, является перпендикуляр. Это означает, что на прямой $a$ существует единственная точка $H_0$, такая что отрезок $MH_0$ перпендикулярен прямой $a$ (это записывается как $MH_0 \perp a$). Отрезок $MH_0$ называют перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на прямую $a$, а точку $H_0$ — основанием перпендикуляра.

Уникальность этого перпендикуляра следует из того, что через прямую $a$ и не лежащую на ней точку $M$ проходит единственная плоскость. В этой плоскости задача сводится к известной планиметрической задаче, где из точки на прямую можно опустить лишь один перпендикуляр.

Если сравнить длину перпендикуляра $MH_0$ с длиной любой наклонной $MH$ (где $H \ne H_0$), то они образуют прямоугольный треугольник $\triangle MH_0H$, в котором $MH$ является гипотенузой, а $MH_0$ — катетом. Поскольку гипотенуза всегда длиннее катета, то $|MH| > |MH_0|$. Это подтверждает, что длина перпендикуляра является наименьшей.

Таким образом, формулируется строгое определение.

Определение: Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к этой прямой.

Ответ: Расстоянием от точки до прямой в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Если точка принадлежит прямой, то это расстояние считается равным нулю.