Номер 9.8, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ все ребра равны 1 (рис. 9.10). Найдите угол между прямыми:

а) $AB$ и $SC$;

б) $SB$ и $SD$.

Рис. 9.10

а) Поскольку SABCD — правильная четырехугольная пирамида, в ее основании лежит квадрат ABCD. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Прямые AB и SC являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным. В основании пирамиды лежит квадрат, поэтому сторона AB параллельна стороне DC ($AB \parallel DC$). Следовательно, искомый угол между прямыми AB и SC равен углу между прямыми DC и SC. Эти прямые пересекаются в точке C и образуют угол $\angle SCD$. Рассмотрим треугольник SCD. По условию, все ребра пирамиды равны 1, значит, стороны этого треугольника равны: $SC = 1$, $DC = 1$ и $SD = 1$. Таким образом, треугольник SCD является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Значит, угол $\angle SCD = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

б) Прямые SB и SD — это боковые ребра пирамиды, которые пересекаются в вершине S. Угол между ними — это угол $\angle BSD$, который является углом в треугольнике BSD. Найдем длины сторон треугольника BSD. По условию, боковые ребра $SB = 1$ и $SD = 1$. Сторона BD является диагональю квадрата ABCD в основании. Сторона квадрата равна 1. Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора найдем диагональ BD: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда, $BD = \sqrt{2}$. Теперь рассмотрим треугольник BSD со сторонами $SB = 1$, $SD = 1$ и $BD = \sqrt{2}$. Чтобы найти угол $\angle BSD$, воспользуемся теоремой косинусов: $BD^2 = SB^2 + SD^2 - 2 \cdot SB \cdot SD \cdot \cos(\angle BSD)$. Подставим известные значения: $(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\angle BSD)$. $2 = 1 + 1 - 2 \cos(\angle BSD)$. $2 = 2 - 2 \cos(\angle BSD)$. $2 \cos(\angle BSD) = 0$. $\cos(\angle BSD) = 0$. Следовательно, угол $\angle BSD = 90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.