Номер 9.2, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9.2. Даны прямая и точка вне ее. Сколько можно построить прямых, проходящих через эту точку и перпендикулярных данной прямой?

Эта задача является классическим вопросом из курса евклидовой геометрии. Ответ на нее дает одна из фундаментальных теорем планиметрии.

Теорема о перпендикуляре к прямой гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.

Рассмотрим доказательство этого утверждения, которое состоит из двух частей: доказательства существования и доказательства единственности.

Пусть нам дана прямая $a$ и точка $M$, не принадлежащая этой прямой ($M \notin a$).

Существование. Мы всегда можем построить перпендикуляр из точки к прямой (например, с помощью циркуля и линейки). Этот процесс построения сам по себе доказывает, что как минимум одна такая прямая существует. Эта прямая пройдет через точку $M$ и пересечет прямую $a$ в некоторой точке $H$ (основание перпендикуляра) так, что угол между ними будет прямым ($\angle MHa = 90^\circ$).

Единственность. Докажем, что такая прямая может быть только одна. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что через точку $M$ можно провести две разные прямые, $b_1$ и $b_2$, которые обе перпендикулярны прямой $a$.

Пусть прямая $b_1$ пересекает прямую $a$ в точке $H_1$, а прямая $b_2$ пересекает прямую $a$ в точке $H_2$. Поскольку $b_1 \perp a$ и $b_2 \perp a$, то углы $\angle MH_1H_2$ и $\angle MH_2H_1$ оба равны $90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MH_1H_2$. Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. В нашем же случае сумма только двух углов $\angle MH_1H_2$ и $\angle MH_2H_1$ уже составляет $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Это означает, что третий угол, $\angle H_1MH_2$, должен быть равен $0^\circ$. Треугольник с углом в $0^\circ$ вырождается в отрезок, то есть точки $M$, $H_1$ и $H_2$ должны лежать на одной прямой. Это, в свою очередь, означает, что точки $H_1$ и $H_2$ должны совпадать.

Если точки пересечения $H_1$ и $H_2$ — это одна и та же точка, то и прямые $b_1$ (проходящая через точки $M$ и $H_1$) и $b_2$ (проходящая через точки $M$ и $H_2$) также совпадают, так как аксиома геометрии гласит, что через две точки можно провести только одну прямую.

Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что $b_1$ и $b_2$ — это разные прямые. Следовательно, наше предположение неверно.

Таким образом, через данную точку, не лежащую на прямой, можно построить ровно одну прямую, перпендикулярную данной.

Ответ: можно построить только одну такую прямую.