Проверь себя!, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\alpha$, не совпадающая с плоскостью данных прямых. Определите взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$:
A. $b$ лежит в плоскости $\alpha$.
B. $b$ пересекает плоскость $\alpha$.
C. $b$ параллельна плоскости $\alpha$.
D. Нельзя определить.

2. Сколько плоскостей можно провести через различные пары из трех параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости:
A. Одну.
B. Две.
C. Три.
D. Шесть?

3. Через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость. Эти две плоскости пересекаются. Как расположена их линия пересечения относительно данных прямых:
A. Параллельна им.
B. Пересекает их.
C. Совпадает с одной из них.
D. Скрещивается с одной из них?

4. Даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $A$, принадлежащая прямой $a$. Как расположена прямая $a$ по отношению к проходящей через точку $A$ и прямую $b$ плоскости:
A. Прямая $a$ пересекает плоскость.
B. Прямая $a$ параллельна плоскости.
C. Прямая $a$ лежит в плоскости.
D. Нельзя определить?

5. Плоскость $\alpha$ пересекается с прямой $a$, которая параллельна плоскости $\beta$. Как расположены относительно друг друга плоскости $\alpha$ и $\beta$:
A. Параллельны.
B. Совпадают.
C. Пересекаются.
D. Нельзя определить?

6. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, параллельное ребру $AB$:
A. $CC_1$.
B. $DD_1$.
C. $B_1C_1$.
D. $C_1D_1$.

7. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, параллельное ребру $BC$:
A. $AA_1$.
B. $EF$.
C. $C_1D_1$.
D. $DE$.

8. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AA_1$:
A. $BC$.
B. $BB_1$.
C. $AB$.
D. $A_1D_1$.

9. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $AB$:
A. $CD$.
B. $EF$.
C. $DD_1$.
D. $D_1E_1$.

10. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $SA$:
A. $AB$.
B. $SC$.
C. $SD$.
D. $BC$.

11. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ укажите ребро, скрещивающееся с ребром $BC$:
A. $DE$.
B. $SB$.
C. $SA$.
D. $AF$.

12. Укажите плоскость, параллельную ребру $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$:
A. $ABC$.
B. $ABC_1$.
C. $BDA_1$.
D. $BDD_1$.

13. Для куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ укажите плоскость, параллельную прямой $BC_1$:
A. $ACD_1$.
B. $ACB_1$.
C. $ADB_1$.
D. $CDA_1$.

14. Укажите плоскость, параллельную ребру $AF$ правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$:
A. $BEE_1$.
B. $BDD_1$.
C. $BCC_1$.
D. $CEE_1$.

15. Укажите плоскость, параллельную ребру $CD$ правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$:
A. $SAB$.
B. $SAF$.
C. $SBC$.
D. $SEF$.

1. Даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Через прямую $a$ проходит плоскость $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью, которую однозначно задают параллельные прямые $a$ и $b$.

Рассмотрим взаимное расположение прямой $b$ и плоскости $\alpha$.

Согласно признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

В нашем случае:

1. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ ($a \subset \alpha$).

2. Прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

3. Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$, так как плоскость $\alpha$ не является плоскостью, содержащей обе прямые $a$ и $b$.

Из этих трех пунктов следует, что прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ ($b \parallel \alpha$).

Ответ: C.

2. Через любые две параллельные прямые проходит единственная плоскость. У нас есть три попарно параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. Обозначим их $l_1$, $l_2$ и $l_3$.

Мы можем составить следующие пары прямых:

1. Пара $l_1$ и $l_2$. Они определяют плоскость $\alpha_1$.

2. Пара $l_2$ и $l_3$. Они определяют плоскость $\alpha_2$.

3. Пара $l_1$ и $l_3$. Они определяют плоскость $\alpha_3$.

Поскольку все три прямые не лежат в одной плоскости, все три плоскости ($\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$) будут различными. Таким образом, можно провести три плоскости.

Ответ: C.

3. Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$). Через прямую $a$ проведена плоскость $\alpha$, а через прямую $b$ проведена плоскость $\beta$. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$.

Рассмотрим плоскость $\beta$. Она содержит прямую $b$ и пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $c$. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна прямой $b$.

По теореме о линии пересечения двух плоскостей: если плоскость ($\beta$) проходит через прямую ($b$), параллельную другой плоскости ($\alpha$), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей ($c$) параллельна данной прямой ($b$).

Прямая $b$ параллельна плоскости $\alpha$ (по признаку параллельности прямой и плоскости, так как $b \parallel a$ и $a \subset \alpha$). Плоскость $\beta$ проходит через $b$ и пересекает $\alpha$ по прямой $c$. Следовательно, $c \parallel b$.

Так как $a \parallel b$ и $c \parallel b$, то по свойству транзитивности параллельных прямых, $c \parallel a$.

Значит, линия пересечения $c$ параллельна обеим данным прямым $a$ и $b$.

Ответ: A.

4. Даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$, и точка $A$, принадлежащая прямой $a$ ($A \in a$). Через точку $A$ и прямую $b$ проходит плоскость $\gamma$.

Так как прямые $a$ и $b$ скрещиваются, они не лежат в одной плоскости. Это означает, что точка $A$ не может лежать на прямой $b$ (иначе прямые $a$ и $b$ пересекались бы в точке $A$).

Плоскость $\gamma$ определена прямой $b$ и точкой $A$, не лежащей на ней. По определению, плоскость $\gamma$ содержит прямую $b$ и точку $A$.

Рассмотрим прямую $a$. Точка $A$ прямой $a$ принадлежит плоскости $\gamma$. Может ли вся прямая $a$ лежать в плоскости $\gamma$? Если бы $a \subset \gamma$, то обе прямые, $a$ и $b$, лежали бы в одной плоскости $\gamma$, что противоречит условию, что они скрещиваются.

Следовательно, прямая $a$ не лежит в плоскости $\gamma$, но имеет с ней одну общую точку $A$. Это означает, что прямая $a$ пересекает плоскость $\gamma$.

Ответ: A.

5. Дано, что плоскость $\alpha$ пересекает прямую $a$. Также дано, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$ ($a \parallel \beta$).

Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Если прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$, то по свойству параллельных плоскостей, она должна пересекать и плоскость $\beta$. Но это противоречит условию, что $a \parallel \beta$. Значит, плоскости $\alpha$ и $\beta$ не могут быть параллельны.

Предположим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают ($\alpha = \beta$). Если $a$ пересекает $\alpha$, то она должна пересекать и $\beta$. Это снова противоречит условию $a \parallel \beta$. Значит, плоскости не могут совпадать.

Так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ не параллельны и не совпадают, они должны пересекаться.

Ответ: C.

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ грани являются квадратами, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Ребра, принадлежащие одной грани и не имеющие общих вершин, параллельны. Также параллельны ребра, соединяющие соответственные вершины оснований.

Ребро $AB$ лежит в основании $ABCD$. В этом основании ребру $AB$ параллельно ребро $CD$. В верхнем основании $A_1B_1C_1D_1$ ребру $A_1B_1$ параллельно ребро $C_1D_1$. Так как $AB \parallel A_1B_1$, то по свойству транзитивности $AB \parallel C_1D_1$.

Проверим варианты:

A. $CC_1$: боковое ребро, оно перпендикулярно основанию, а значит и ребру $AB$. Они скрещиваются.

B. $DD_1$: боковое ребро, скрещивается с $AB$.

C. $B_1C_1$: ребро верхнего основания, перпендикулярно $A_1B_1$. Так как $A_1B_1 \parallel AB$, то $B_1C_1$ перпендикулярно направлению $AB$. Они скрещиваются.

D. $C_1D_1$: ребро верхнего основания. $C_1D_1 \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel AB$, следовательно $C_1D_1 \parallel AB$.

Ответ: D.

7. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ основаниями являются правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Ребро $B_1C_1$ находится в верхнем основании. В призме соответствующие ребра оснований параллельны, т.е. $BC \parallel B_1C_1$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны. Сторона, противолежащая $BC$, это $FE$. Следовательно, $BC \parallel FE$.

Используя свойство транзитивности, из $B_1C_1 \parallel BC$ и $BC \parallel FE$ следует, что $B_1C_1 \parallel FE$.

Проверим варианты:

A. $AA_1$: боковое ребро, оно скрещивается с ребром основания $B_1C_1$.

B. $EF$: ребро нижнего основания. Как мы установили, $EF \parallel BC \parallel B_1C_1$.

C. $C_1D_1$: смежное ребро с $B_1C_1$ в верхнем основании, не параллельно ему.

D. $DE$: ребро нижнего основания, не параллельно $B_1C_1$.

Ответ: B.

8. Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Ребро $AA_1$ является боковым ребром куба.

Ребра, пересекающие $AA_1$: $AB, AD, A_1B_1, A_1D_1$.

Ребра, параллельные $AA_1$: $BB_1, CC_1, DD_1$.

Все остальные ребра будут скрещиваться с $AA_1$. Это ребра $BC, CD, B_1C_1, C_1D_1$.

Проверим варианты:

A. $BC$: ребро нижнего основания. Оно не имеет общих точек с $AA_1$ и не параллельно ему. Не существует плоскости, содержащей одновременно $AA_1$ и $BC$. Следовательно, они скрещиваются.

B. $BB_1$: параллельно $AA_1$.

C. $AB$: пересекает $AA_1$ в точке $A$.

D. $A_1D_1$: пересекает $AA_1$ в точке $A_1$.

Ответ: A.

9. В правильной шестиугольной призме ищем ребро, скрещивающееся с ребром $AB$ нижнего основания.

Ребра, пересекающие $AB$: $BC, AF, AA_1, BB_1$.

Ребра, параллельные $AB$: $A_1B_1$ (в верхнем основании) и $ED$ (в нижнем основании), а также $E_1D_1$ (в верхнем основании).

Остальные ребра скрещиваются с $AB$. Например, боковые ребра $CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$ или ребра оснований, не пересекающие и не параллельные $AB$, например $C_1D_1$ или $D_1E_1$.

Проверим варианты:

A. $CD$: лежит в одной плоскости с $AB$ (плоскость основания $ABCDEF$). Непараллельные прямые в одной плоскости либо пересекаются, либо их продолжения пересекаются. Они не скрещиваются.

B. $EF$: лежит в одной плоскости с $AB$.

C. $DD_1$: боковое ребро. Оно не пересекает $AB$ и не параллельно ему. Они лежат в разных плоскостях. Следовательно, $AB$ и $DD_1$ скрещиваются.

D. $D_1E_1$: параллельно $DE$, а $DE$ параллельно $AB$. Значит, $D_1E_1 \parallel AB$.

Ответ: C.

10. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ основанием является квадрат $ABCD$, а $S$ — вершина. Ребро $SA$ — боковое ребро.

Ребра, пересекающие $SA$: $AB, AD$ (в точке $A$) и $SB, SD$ (в точке $S$).

Параллельных ребер ребру $SA$ в пирамиде нет.

Остальные ребра скрещиваются с $SA$. Это ребра основания, не имеющие общей вершины с $SA$, то есть $BC$ и $CD$. Также ребро $SC$ скрещивается с $SA$ ? Нет, они пересекаются в точке $S$. Моя предыдущая проверка была неверна: $SA$ и $SC$ лежат в плоскости $SAC$ и пересекаются в $S$.

Значит, скрещивающимися с $SA$ являются ребра $BC$ и $CD$.

Проверим варианты:

A. $AB$: пересекает $SA$ в точке $A$.

B. $SC$: пересекает $SA$ в точке $S$.

C. $SD$: пересекает $SA$ в точке $S$.

D. $BC$: ребро основания, не имеет общих точек с $SA$. Они не лежат в одной плоскости. Следовательно, они скрещиваются.

Ответ: D.

11. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ ищем ребро, скрещивающееся с ребром основания $BC$.

Ребра, пересекающие $BC$: $AB, CD$ (в основании) и $SB, SC$ (боковые).

Ребра, параллельные $BC$: $FE$ (противоположное ребро основания).

Остальные ребра скрещиваются с $BC$. Это боковые ребра, не выходящие из вершин $B$ и $C$: $SA, SD, SE, SF$. А также ребра основания, не смежные и не параллельные $BC$: $DE, AF$.

Проверим варианты:

A. $DE$: лежит в одной плоскости с $BC$. Они не скрещиваются.

B. $SB$: пересекает $BC$ в точке $B$.

C. $SA$: боковое ребро. Не пересекает $BC$ и не параллельно ему. Они не лежат в одной плоскости. Следовательно, $SA$ и $BC$ скрещиваются.

D. $AF$: лежит в одной плоскости с $BC$.

Ответ: C.

12. Плоскость параллельна прямой, если в этой плоскости есть прямая, параллельная данной прямой. Ищем плоскость, параллельную боковому ребру $CC_1$ куба.

Ребро $CC_1$ параллельно другим боковым ребрам: $AA_1, BB_1, DD_1$. Следовательно, любая плоскость, содержащая одно из этих ребер (но не само ребро $CC_1$), будет параллельна $CC_1$.

Проверим варианты:

A. $ABC$: плоскость нижнего основания. Ребро $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$.

B. $ABC_1$: эта плоскость пересекает ребро $CC_1$ в точке $C_1$.

C. $BDA_1$: диагональная плоскость. Не содержит прямых, очевидно параллельных $CC_1$.

D. $BDD_1$: эта плоскость является диагональным сечением $BDD_1B_1$. Она содержит ребро $DD_1$. Так как $DD_1 \parallel CC_1$, то и вся плоскость $BDD_1B_1$ параллельна ребру $CC_1$.

Ответ: D.

13. Ищем плоскость, параллельную диагонали грани $BC_1$ куба. Для этого нужно найти в одной из предложенных плоскостей прямую, параллельную $BC_1$.

В кубе диагонали параллельных граней, соединяющие соответствующие вершины, параллельны. Грань $BCC_1B_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$. Диагонали $BC_1$ в первой грани соответствует диагональ $AD_1$ во второй. Следовательно, $BC_1 \parallel AD_1$.

Теперь нужно найти плоскость из предложенных, которая содержит прямую $AD_1$.

Проверим варианты:

A. $ACD_1$: эта плоскость проходит через точки $A, C, D_1$. Она содержит прямую $AD_1$. Так как $AD_1 \parallel BC_1$ и $BC_1$ не лежит в этой плоскости, то плоскость $ACD_1$ параллельна прямой $BC_1$.

B. $ACB_1$: не содержит прямых, параллельных $BC_1$.

C. $ADB_1$: не содержит прямых, параллельных $BC_1$.

D. $CDA_1$: не содержит прямых, параллельных $BC_1$.

Ответ: A.

14. Ищем плоскость, параллельную ребру основания $AF$ правильной шестиугольной призмы. Для этого нужно найти плоскость, содержащую прямую, параллельную $AF$.

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ стороне $AF$ параллельна сторона $CD$. Также стороне $AF$ параллельна большая диагональ $BE$.

Проверим варианты:

A. $BEE_1$: это плоскость диагонального сечения $BEE_1B_1$. Она содержит большую диагональ $BE$. Так как $BE \parallel AF$, то плоскость $BEE_1B_1$ параллельна ребру $AF$.

B. $BDD_1$: плоскость $BDD_1B_1$ содержит диагональ $BD$, которая не параллельна $AF$.

C. $BCC_1$: плоскость боковой грани $BCC_1B_1$ содержит ребро $BC$, которое не параллельно $AF$.

D. $CEE_1$: плоскость $CEE_1C_1$ содержит диагональ $CE$, которая не параллельна $AF$.

Ответ: A.

15. Ищем плоскость, параллельную ребру основания $CD$ правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$. Для этого нужно найти плоскость, содержащую прямую, параллельную $CD$.

В основании (правильном шестиугольнике $ABCDEF$) ребру $CD$ параллельно ребро $AF$.

Проверим варианты (это плоскости боковых граней):

A. $SAB$: содержит ребро $AB$. $AB$ не параллельно $CD$.

B. $SAF$: эта плоскость содержит ребро $AF$. Так как $AF \parallel CD$, и ребро $CD$ не лежит в плоскости $SAF$, то по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость $SAF$ параллельна ребру $CD$.

C. $SBC$: содержит ребро $BC$. $BC$ не параллельно $CD$.

D. $SEF$: содержит ребро $EF$. $EF$ параллельно $BC$, но не $CD$.

Ответ: B.