Номер 8.10, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.10. Для правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите линию пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$.

Для нахождения линии пересечения двух плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$ необходимо найти две общие точки, принадлежащие обеим плоскостям. Эти две точки и будут определять искомую прямую.

1. Нахождение первой общей точки.

Рассмотрим названия плоскостей: $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$. Точка $B$ входит в определение обеих плоскостей. Следовательно, точка $B$ является общей точкой для этих плоскостей и принадлежит линии их пересечения.

2. Нахождение второй общей точки.

Для нахождения второй точки воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость верхнего основания призмы $(A_1B_1C_1)$. Обозначим ее $\pi_1$. Найдем линии пересечения каждой из данных плоскостей с плоскостью $\pi_1$.

а) Найдем линию пересечения плоскости $(ABC_1)$ с плоскостью верхнего основания $\pi_1 = (A_1B_1C_1)$.
Плоскость нижнего основания $(ABC)$ параллельна плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$. Плоскость $(ABC_1)$ пересекает плоскость $(ABC)$ по прямой $AB$. По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей, линия пересечения плоскости $(ABC_1)$ с плоскостью $(A_1B_1C_1)$ будет прямой, параллельной прямой $AB$.
Точка $C_1$ принадлежит и плоскости $(ABC_1)$, и плоскости $\pi_1$, значит, она лежит на линии их пересечения.
Таким образом, линия пересечения плоскостей $(ABC_1)$ и $\pi_1$ — это прямая, проходящая через точку $C_1$ параллельно прямой $AB$ (а значит, и параллельно $A_1B_1$). В правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ такой прямой является прямая $C_1O_1$, где $O_1$ — центр шестиугольника (основания четырехугольника $A_1B_1C_1O_1$ являются параллельными, так как $A_1B_1C_1O_1$ - ромб). Обозначим эту прямую $l_1$.

б) Аналогично найдем линию пересечения плоскости $(BCD_1)$ с плоскостью верхнего основания $\pi_1 = (A_1B_1C_1)$.
Плоскость $(BCD_1)$ пересекает плоскость нижнего основания $(ABC)$ по прямой $BC$. Так как $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$, то линия пересечения плоскости $(BCD_1)$ с плоскостью $\pi_1$ будет прямой, параллельной прямой $BC$.
Точка $D_1$ принадлежит и плоскости $(BCD_1)$, и плоскости $\pi_1$, значит, она лежит на линии их пересечения.
Таким образом, линия пересечения плоскостей $(BCD_1)$ и $\pi_1$ — это прямая, проходящая через точку $D_1$ параллельно прямой $BC$ (а значит, и параллельно $B_1C_1$). В правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ такой прямой является прямая $D_1O_1$ (так как $B_1C_1D_1O_1$ — параллелограмм). Обозначим эту прямую $l_2$.

в) Точка пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ является общей точкой для плоскостей $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$.
Прямая $l_1$ — это прямая $C_1O_1$.
Прямая $l_2$ — это прямая $D_1O_1$.
Очевидно, что прямые $C_1O_1$ и $D_1O_1$ пересекаются в точке $O_1$.
Поскольку $O_1 \in l_1$ и $l_1 \subset (ABC_1)$, то $O_1 \in (ABC_1)$.
Поскольку $O_1 \in l_2$ и $l_2 \subset (BCD_1)$, то $O_1 \in (BCD_1)$.
Следовательно, точка $O_1$ — вторая общая точка для данных плоскостей.

3. Определение линии пересечения.

Мы нашли две общие точки для плоскостей $(ABC_1)$ и $(BCD_1)$: это точка $B$ и точка $O_1$ (центр верхнего основания призмы). Следовательно, линией пересечения этих плоскостей является прямая, проходящая через эти две точки.

Ответ: Линией пересечения плоскостей $ABC_1$ и $BCD_1$ является прямая $BO_1$, где $O_1$ — центр основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.