Номер 8.5, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8.5. Докажите, что у параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны плоскости:

а) $ABB_1$ и $CDD_1$;

б) $ABD_1$ и $BDC_1$.

а) Для доказательства параллельности плоскостей $ABB_1$ и $CDD_1$ воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
1. Плоскость $ABB_1$ проходит через прямые $AB$ и $BB_1$, которые пересекаются в точке $B$.
2. Плоскость $CDD_1$ проходит через прямые $CD$ и $DD_1$, которые пересекаются в точке $D$.
3. По определению параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, его грани являются параллелограммами.
- Грань $ABCD$ является параллелограммом, следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $CD$ ($AB \parallel CD$).
- Грань $CDD_1C_1$ является параллелограммом, а также грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны. Следовательно, прямая $BB_1$ параллельна прямой $DD_1$ ($BB_1 \parallel DD_1$).
4. Мы получили, что две пересекающиеся прямые $AB$ и $BB_1$ в плоскости $ABB_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $CD$ и $DD_1$ в плоскости $CDD_1$.
5. Согласно признаку параллельности плоскостей, плоскость $ABB_1$ параллельна плоскости $CDD_1$.
Ответ: плоскости $ABB_1$ и $CDD_1$ параллельны, что и требовалось доказать.

б) Для доказательства параллельности плоскостей $AB_1D_1$ и $BDC_1$ также воспользуемся признаком параллельности двух плоскостей.
1. Плоскость $AB_1D_1$ определена двумя прямыми $AB_1$ и $AD_1$, пересекающимися в точке $A$.
2. Плоскость $BDC_1$ определена двумя прямыми $BD$ и $DC_1$. Нам нужно найти в этой плоскости прямые, параллельные $AB_1$ и $AD_1$. Рассмотим прямые $BC_1$ и $DC_1$, которые пересекаются в точке $C_1$ и задают плоскость $BDC_1$ (так как точка $B$ не лежит на прямой $D C_1$, а точка $D$ не лежит на прямой $B C_1$).
3. Докажем, что $AD_1 \parallel BC_1$ и $AB_1 \parallel DC_1$. Для этого удобно использовать векторы. Введем базисные векторы, отложенные от вершины $A$: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$, $\vec{AA_1} = \vec{a_1}$.
4. Выразим векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ через базисные:
- $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$. Так как $ADD_1A_1$ — параллелограмм, то $\vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Следовательно, $\vec{AD_1} = \vec{d} + \vec{a_1}$.
- $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{d}$. Так как $BCC_1B_1$ — параллелограмм, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Следовательно, $\vec{BC_1} = \vec{d} + \vec{a_1}$.
- Поскольку векторы $\vec{AD_1}$ и $\vec{BC_1}$ равны, то соответствующие им отрезки параллельны и равны по длине. Значит, $AD_1 \parallel BC_1$.
5. Теперь выразим векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ через базисные:
- $\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Так как $ABB_1A_1$ — параллелограмм, то $\vec{BB_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Следовательно, $\vec{AB_1} = \vec{b} + \vec{a_1}$.
- $\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{b}$. Так как $CDD_1C_1$ — параллелограмм, то $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{a_1}$. Следовательно, $\vec{DC_1} = \vec{b} + \vec{a_1}$.
- Поскольку векторы $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ равны, отрезки $AB_1$ и $DC_1$ параллельны. Значит, $AB_1 \parallel DC_1$.
6. Мы доказали, что две пересекающиеся прямые $AB_1$ и $AD_1$ в плоскости $AB_1D_1$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым $DC_1$ и $BC_1$ в плоскости $BDC_1$.
7. По признаку параллельности плоскостей, плоскость $AB_1D_1$ параллельна плоскости $BDC_1$.
Ответ: плоскости $AB_1D_1$ и $BDC_1$ параллельны, что и требовалось доказать.