Номер 7.12, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

7.12. Попробуйте определить понятие параллельности двух плоскостей.

7.12. Определение понятия параллельности двух плоскостей можно сформулировать по аналогии с параллельными прямыми на плоскости. Подобно тому как параллельные прямые никогда не пересекаются, параллельные плоскости — это плоскости, которые не имеют общих точек, как бы далеко мы их ни продолжали в пространстве.

Формальное определение

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$, это записывается как $\alpha \parallel \beta$. С точки зрения теории множеств, это означает, что их пересечение является пустым множеством: $\alpha \cap \beta = \emptyset$.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве

В трехмерном пространстве для двух различных плоскостей существуют только две возможности их взаимного расположения:

1. Плоскости пересекаются. В этом случае их общей частью (пересечением) является прямая линия. Классический пример — стена и пол в комнате, которые пересекаются по линии плинтуса.

2. Плоскости параллельны. Они не имеют ни одной общей точки.

Примечание: Третий случай — когда плоскости совпадают. Однако в геометрии под параллельными плоскостями обычно понимают две различные плоскости, которые не пересекаются.

Признак параллельности двух плоскостей (теорема)

Для доказательства параллельности двух плоскостей на практике используется ключевая теорема, известная как признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Формально: пусть в плоскости $\alpha$ лежат прямые $a$ и $b$, пересекающиеся в точке $M$ ($a \cap b \neq \emptyset$), а в плоскости $\beta$ лежат прямые $a_1$ и $b_1$, пересекающиеся в точке $N$ ($a_1 \cap b_1 \neq \emptyset$). Если известно, что $a \parallel a_1$ и $b \parallel b_1$, то из этого следует, что плоскости параллельны: $\alpha \parallel \beta$.

Примеры из окружающего мира

- Пол и потолок в комнате.
- Противоположные грани куба или кирпича (параллелепипеда).
- Полки в книжном шкафу.
- Поверхность стола и пол (при условии, что стол стоит на ровной горизонтальной поверхности).

Ответ: Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек (то есть не пересекаются). Обозначается это как $\alpha \parallel \beta$. Основным способом установления параллельности плоскостей является признак: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.