Номер 7.6, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.6. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD укажите параллельные ребра и грани (рис. 7.8).

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее основание $ABCD$ — это квадрат, а вершина $S$ проецируется в центр основания.

Параллельные ребра

Параллельными называются ребра, лежащие на параллельных прямых. В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, у которого противоположные стороны параллельны. Следовательно, ребро $AB$ параллельно ребру $CD$, а ребро $BC$ параллельно ребру $DA$. Других пар параллельных ребер в пирамиде нет. Боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ пересекаются в одной точке $S$, поэтому не могут быть параллельны друг другу. Любое боковое ребро (например, $SA$) и ребро основания, не имеющее с ним общих точек (например, $BC$), являются скрещивающимися, а не параллельными.

Ответ: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel DA$.

Параллельные грани

Параллельными называются грани, которые лежат в параллельных плоскостях и не имеют общих точек. В пирамиде $SABCD$ любая боковая грань (например, $SAB$) пересекает грань основания $ABCD$ по общему ребру ($AB$). Любые две боковые грани также пересекаются (они имеют как минимум одну общую точку — вершину $S$). Следовательно, в данной пирамиде нет параллельных граней.

Ответ: В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ нет параллельных граней.

Параллельность ребер и граней

Ребро параллельно грани, если прямая, содержащая это ребро, не имеет с плоскостью грани общих точек. Согласно признаку параллельности прямой и плоскости, ребро параллельно грани, если оно параллельно какой-либо прямой, лежащей в этой грани.
Рассмотрим ребра основания. Ребро $AB$ параллельно ребру $CD$ ($AB \parallel CD$), которое лежит в плоскости грани $SCD$. Так как ребро $AB$ не принадлежит плоскости $(SCD)$, то ребро $AB$ параллельно грани $SCD$.
Аналогично для других ребер основания:
- Ребро $CD$ параллельно грани $SAB$ (так как $CD \parallel AB$, а прямая $AB$ лежит в грани $SAB$).
- Ребро $BC$ параллельно грани $SDA$ (так как $BC \parallel DA$, а прямая $DA$ лежит в грани $SDA$).
- Ребро $DA$ параллельно грани $SBC$ (так как $DA \parallel BC$, а прямая $BC$ лежит в грани $SBC$).
Боковые ребра не параллельны граням, которым они не принадлежат. Например, боковое ребро $SA$ пересекает плоскость основания $ABCD$ в точке $A$ и не может быть ей параллельно. Также ребро $SA$ не параллельно грани $SBC$, так как оно не параллельно ни одной из прямых, лежащих в этой грани ($SB, SC, BC$).

Ответ: Ребро $AB$ параллельно грани $SCD$; ребро $CD$ параллельно грани $SAB$; ребро $BC$ параллельно грани $SDA$; ребро $DA$ параллельно грани $SBC$.