Вопросы, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как может располагаться прямая относительно плоскости?

2. Какая прямая называется параллельной плоскости?

3. Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.

1. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве может быть одним из трех следующих:

Прямая лежит в плоскости: все точки прямой принадлежат плоскости. В этом случае прямая и плоскость имеют бесконечное множество общих точек. Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, это обозначается как $a \subset \alpha$.

Прямая пересекает плоскость: прямая и плоскость имеют ровно одну общую точку, которая называется точкой пересечения. Если прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$, это записывается как $a \cap \alpha = \{M\}$.

Прямая параллельна плоскости: прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Если прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, это записывается как $a \parallel \alpha$.

Ответ: Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость в одной точке или быть параллельной плоскости.

2. Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с этой плоскостью ни одной общей точки. Это означает, что каждая точка прямой находится на одинаковом ненулевом расстоянии от плоскости. Обозначается параллельность прямой $a$ и плоскости $\alpha$ как $a \parallel \alpha$. Условие параллельности означает, что их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$.

Ответ: Прямая называется параллельной плоскости, если они не имеют общих точек.

3. Признак параллельности прямой и плоскости — это теорема, которая позволяет определить, параллельна ли прямая плоскости, не проверяя наличие общих точек напрямую. Формулировка признака следующая:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Пусть нам даны прямая $a$ и плоскость $\alpha$. Для того чтобы прямая $a$ была параллельна плоскости $\alpha$, достаточно выполнения следующих условий:

1. Существует прямая $b$, которая лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

2. Прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

3. Сама прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).

Если все три условия выполнены, то можно сделать вывод, что $a \parallel \alpha$.

Ответ: Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.