Номер 7.5, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.5. Одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости. Верно ли, что и вторая прямая параллельна этой плоскости?

Данное утверждение не является верным. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то вторая прямая может быть либо также параллельна этой плоскости, либо может лежать в этой плоскости.

Для доказательства введем обозначения. Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$) и плоскость $\alpha$. По условию, одна из прямых, например $a$, параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$). Это означает, что прямая $a$ и плоскость $\alpha$ не имеют общих точек.

Рассмотрим возможные положения прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$. Прямая $b$ может быть параллельна плоскости $\alpha$, пересекать ее или лежать в ней. Проанализируем случай, когда $b$ не параллельна $\alpha$.

Предположим, что прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$. Тогда она должна иметь с плоскостью $\alpha$ хотя бы одну общую точку. Докажем от противного, что если $b$ имеет с $\alpha$ хотя бы одну общую точку, то она целиком лежит в этой плоскости.
Пусть $M$ — общая точка прямой $b$ и плоскости $\alpha$.
1. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, через них можно провести единственную плоскость $\beta$.
2. Точка $M$ принадлежит прямой $b$, а значит, и плоскости $\beta$. Также $M$ по предположению принадлежит плоскости $\alpha$. Следовательно, плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются, и их линия пересечения — это некоторая прямая $c$, которая проходит через точку $M$.
3. Рассмотрим прямые $a$ и $c$. Обе лежат в плоскости $\beta$. Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ (по условию), а прямая $c$ лежит в плоскости $\alpha$. Это значит, что $a$ и $c$ не могут пересекаться. Так как они лежат в одной плоскости $\beta$ и не пересекаются, они параллельны: $a \parallel c$.
4. Мы получили, что в плоскости $\beta$ обе прямые, $b$ и $c$, параллельны одной и той же прямой $a$. По свойству транзитивности параллельных прямых на плоскости, отсюда следует, что $b \parallel c$.
5. Однако мы знаем, что прямые $b$ и $c$ имеют общую точку $M$. Две параллельные прямые могут иметь общую точку только в том случае, если они совпадают, то есть $b=c$.
6. Поскольку прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, она целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($c \subset \alpha$). А так как $b=c$, то и прямая $b$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).

Таким образом, мы доказали, что для прямой $b$ возможны только два варианта: либо она параллельна плоскости $\alpha$, либо она лежит в плоскости $\alpha$.

Существование второго варианта опровергает исходное утверждение. Приведем наглядный контрпример: пусть плоскость $\alpha$ — это пол, а прямая $b$ — линия стыка плиток на полу. Прямая $a$ — это край подвесного потолка, параллельный линии $b$. В этом случае $a \parallel b$ и $a \parallel \alpha$, но прямая $b$ не параллельна плоскости $\alpha$, а лежит в ней.

Ответ: Нет, не верно. Вторая прямая может лежать в данной плоскости.