Номер 7.10, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.10. Плоскость проходит через середины двух сторон треугольника и не совпадает с плоскостью этого треугольника. Докажите, что данная плоскость параллельна третьей стороне треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим плоскость, в которой лежит треугольник, как $\beta$.Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $BC$.По условию задачи, существует плоскость $\alpha$, которая проходит через точки $M$ и $N$.Также дано, что плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью $\beta$, то есть $\alpha \neq \beta$.Требуется доказать, что плоскость $\alpha$ параллельна третьей стороне треугольника, то есть $AC$.

Доказательство:

1. Рассмотрим отрезок $MN$. Так как точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно, то по определению отрезок $MN$ является его средней линией.

2. Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Для нас важна параллельность: $MN \parallel AC$.

3. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$. Из аксиомы стереометрии следует, что если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Следовательно, прямая $MN$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, что записывается как $MN \subset \alpha$.

4. Теперь докажем, что прямая $AC$ не лежит в плоскости $\alpha$. Допустим, что $AC \subset \alpha$. Тогда точки $A$ и $C$ принадлежат плоскости $\alpha$. Но мы знаем, что точка $M$ (середина $AB$) также принадлежит $\alpha$. Значит, плоскость $\alpha$ проходит через три вершины треугольника: $A$, $C$ и хотя бы одну точку прямой $AB$ (а значит и через всю прямую $AB$, и точку $B$). Таким образом, плоскость $\alpha$ содержит все три вершины треугольника $A$, $B$, $C$ и совпадает с плоскостью треугольника $\beta$. Это противоречит условию задачи, согласно которому $\alpha \neq \beta$. Следовательно, наше допущение неверно, и прямая $AC$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($AC \not\subset \alpha$).

5. Мы установили следующее:
- Прямая $AC$ не лежит в плоскости $\alpha$.
- Прямая $MN$ лежит в плоскости $\alpha$.
- Прямая $AC$ параллельна прямой $MN$.

Эти три условия в точности соответствуют признаку параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Применяя этот признак, мы делаем вывод, что прямая $AC$ параллельна плоскости $\alpha$ ($AC \parallel \alpha$). Это означает, что данная плоскость параллельна третьей стороне треугольника.

Ответ: Утверждение доказано. Плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника и не совпадающая с плоскостью этого треугольника, параллельна его третьей стороне.