Номер 7.8, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

параллельные ребра и грани (рис. 7.6).

7.8. Дан параллелограмм $ABCD$. Через сторону $AB$ проведена плоскость $\alpha$, не совпадающая с плоскостью параллелограмма. Докажите, что $CD \parallel \alpha$.

Для решения этой задачи воспользуемся определением параллелограмма и признаком параллельности прямой и плоскости.

1. По определению параллелограмма, его противолежащие стороны параллельны. В параллелограмме $ABCD$ сторона $CD$ параллельна стороне $AB$. Запишем это с помощью математических символов: $CD \parallel AB$.

2. По условию задачи, через сторону $AB$ проведена плоскость $\alpha$. Это означает, что прямая, содержащая отрезок $AB$, целиком лежит в плоскости $\alpha$. Запишем это так: $AB \subset \alpha$.

3. Теперь воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Мы уже установили, что $CD \parallel AB$ и $AB \subset \alpha$. Чтобы применить признак, нам осталось убедиться, что прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$.

Допустим, что прямая $CD$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $AB$ тоже лежит в плоскости $\alpha$, то получается, что плоскость $\alpha$ проходит через обе параллельные прямые $AB$ и $CD$. Через две параллельные прямые можно провести только одну плоскость. Это означает, что плоскость $\alpha$ является плоскостью, в которой лежит параллелограмм $ABCD$. Однако это противоречит условию задачи, в котором сказано, что плоскость $\alpha$ не совпадает с плоскостью параллелограмма. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($CD \not\subset \alpha$).

Таким образом, все условия признака параллельности прямой и плоскости выполняются:

• Прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$.
• Прямая $CD$ параллельна прямой $AB$.
• Прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку прямая $CD$ параллельна прямой $AB$ ($CD \parallel AB$), прямая $AB$ лежит в плоскости $\alpha$ ($AB \subset \alpha$), а прямая $CD$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($CD \not\subset \alpha$), то по признаку параллельности прямой и плоскости $CD \parallel \alpha$.