Номер 7.2, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7.2. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ укажите грани, параллельные ребру:

а) $AB$;

б) $AA_1$ (рис. 7.7).

Рис. 7.7

а)

Согласно определению, прямая параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек. Признак параллельности прямой и плоскости гласит: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Мы ищем грани (плоскости), параллельные ребру $AB$.

1. Ребро $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$ и в плоскости боковой грани $ABB_1A_1$. Следовательно, эти грани не параллельны ребру $AB$, а содержат его.

2. Рассмотрим плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В призме соответствующие ребра оснований параллельны, значит $AB \parallel A_1B_1$. Так как прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, а ребро $AB$ в ней не лежит, то по признаку параллельности ребро $AB$ параллельно плоскости грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

3. В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Сторона, противоположная стороне $AB$, это сторона $ED$. Таким образом, $AB \parallel ED$. Ребро $ED$ принадлежит боковой грани $DEE_1D_1$. Поскольку $AB$ не лежит в плоскости этой грани, то ребро $AB$ параллельно плоскости грани $DEE_1D_1$.

4. Боковые грани $BCC_1B_1$ и $FAA_1F_1$ не параллельны ребру $AB$, так как пересекают его в точках $B$ и $A$ соответственно. Боковые грани $CDD_1C_1$ и $EFF_1E_1$ также не параллельны ребру $AB$, так как в правильном шестиугольнике $AB \not\parallel CD$ и $AB \not\parallel EF$, а также $AB$ не параллельно боковым ребрам ($CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$), так как они ему перпендикулярны. Значит, ребро $AB$ не параллельно ни одной прямой в этих гранях.

Ответ: $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и $DEE_1D_1$.

б)

Ищем грани, параллельные боковому ребру $AA_1$.

1. Ребро $AA_1$ принадлежит боковым граням $ABB_1A_1$ и $FAA_1F_1$. Поэтому эти грани содержат ребро $AA_1$ и не могут быть ему параллельны.

2. Призма является правильной, а значит прямой. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Ребро $AA_1$ пересекает плоскость нижнего основания $ABCDEF$ в точке $A$ и плоскость верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ в точке $A_1$. Следовательно, грани оснований не параллельны ребру $AA_1$.

3. В прямой призме все боковые ребра параллельны между собой. То есть, $AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1 \parallel EE_1 \parallel FF_1$.

4. Рассмотрим остальные боковые грани, которые не содержат ребро $AA_1$:
Грань $BCC_1B_1$ содержит ребро $BB_1$. Так как $AA_1 \parallel BB_1$, то ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $BCC_1B_1$.
Грань $CDD_1C_1$ содержит ребро $CC_1$. Так как $AA_1 \parallel CC_1$, то ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $CDD_1C_1$.
Грань $DEE_1D_1$ содержит ребро $DD_1$. Так как $AA_1 \parallel DD_1$, то ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $DEE_1D_1$.
Грань $EFF_1E_1$ содержит ребро $EE_1$. Так как $AA_1 \parallel EE_1$, то ребро $AA_1$ параллельно плоскости грани $EFF_1E_1$.

Ответ: $BCC_1B_1, CDD_1C_1, DEE_1D_1, EFF_1E_1$.