Номер 6.13, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.13. Пересекаются ли отрезки $EH$ и $FG$ (рис. 6.11)? Ответ объясните.

Рис. 6.11

Отрезки $EH$ и $FG$ не пересекаются, так как прямые, содержащие эти отрезки, являются скрещивающимися. Чтобы доказать это, необходимо показать, что эти прямые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка в пространстве могут пересечься только в том случае, если они лежат в одной плоскости. Это означает, что все четыре конечные точки отрезков — $E, F, G, H$ — должны лежать в одной плоскости (быть компланарными). Проверим, выполняется ли это условие для заданных в задаче точек.

Рассмотрим плоскости, в которых лежат пары точек.Точка $E$ лежит на ребре $AB$, а точка $F$ — на ребре $SA$. Обе эти точки принадлежат плоскости грани $(SAB)$. Следовательно, прямая $EF$ целиком лежит в плоскости $(SAB)$.

Аналогично, точка $G$ лежит на ребре $BC$, а точка $H$ — на ребре $SC$. Обе эти точки принадлежат плоскости грани $(SBC)$. Следовательно, прямая $GH$ целиком лежит в плоскости $(SBC)$.

Плоскости граней $(SAB)$ и $(SBC)$ пересекаются по прямой $SB$.

Теперь предположим, что точки $E, F, G, H$ все же лежат в одной плоскости, назовем ее $\alpha$. В этом случае эта плоскость $\alpha$ пересекает плоскость $(SAB)$ по прямой $EF$, а плоскость $(SBC)$ — по прямой $GH$.

Согласно свойству пересечения трех плоскостей, если две плоскости ($(SAB)$ и $(SBC)$) пересекаются по прямой ($SB$), то третья плоскость ($\alpha$) пересекает их по прямым ($EF$ и $GH$), которые либо параллельны друг другу и прямой $SB$, либо пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $SB$.

Однако в условии задачи точки $E, F, G, H$ выбраны на ребрах пирамиды произвольным образом. В общем случае прямая $EF$ (в плоскости $(SAB)$) и прямая $GH$ (в плоскости $(SBC)$) не пересекаются на ребре $SB$ и не параллельны ему. Следовательно, в общем случае прямые $EF$ и $GH$ являются скрещивающимися.

Из того, что прямые $EF$ и $GH$ скрещиваются, следует, что четыре точки $E, F, G, H$ не лежат в одной плоскости.

Если точки $E, F, G, H$ некомпланарны, то прямые $EH$ и $FG$, которые соединяют эти точки, не могут лежать в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися. Скрещивающиеся прямые в пространстве не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Следовательно, отрезки $EH$ и $FG$, лежащие на этих прямых, также не пересекаются.

Ответ: Нет, отрезки $EH$ и $FG$ не пересекаются, так как они лежат на скрещивающихся прямых.