Номер 6.7, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.7. Прямая $a$ скрещивается с прямой $b$, а прямая $b$ скрещивается с прямой $c$. Следует ли отсюда, что прямые $a$ и $c$ скрещиваются?

Нет, из данных условий не следует, что прямые $a$ и $c$ скрещиваются. Отношение скрещиваемости для прямых в пространстве не является транзитивным. Это означает, что если прямая $a$ скрещивается с $b$, а $b$ скрещивается с $c$, то прямые $a$ и $c$ могут быть не только скрещивающимися, но также могут быть параллельными или пересекающимися.

Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть контрпримеры, которые показывают, что возможны другие варианты взаимного расположения прямых $a$ и $c$.

Пример, когда прямые $a$ и $c$ параллельны

Рассмотрим в качестве модели прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Пусть прямая $a$ — это прямая $AD$, содержащая ребро $AD$.

Пусть прямая $b$ — это прямая $BB_1$, содержащая ребро $BB_1$.

Пусть прямая $c$ — это прямая $A_1D_1$, содержащая ребро $A_1D_1$.

Проверим исходные условия:

Прямая $a$ ($AD$) и прямая $b$ ($BB_1$) не лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, они скрещиваются.

Прямая $b$ ($BB_1$) и прямая $c$ ($A_1D_1$) также не лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, они тоже скрещиваются.

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямых $a$ и $c$. Прямые $a$ ($AD$) и $c$ ($A_1D_1$) лежат в одной плоскости грани $ADD_1A_1$ и не имеют общих точек. Следовательно, они параллельны ($a \parallel c$), а не скрещиваются.

Пример, когда прямые $a$ и $c$ пересекаются

Рассмотрим декартову систему координат $Oxyz$.

Пусть прямая $b$ лежит в плоскости $Oxy$ и задана уравнениями $y=1, z=0$. Эта прямая параллельна оси $Ox$.

Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $Oxz$ и задана уравнениями $y=0, z=x$.

Пусть прямая $c$ также лежит в плоскости $Oxz$ и задана уравнениями $y=0, z=-x$.

Проверим исходные условия:

Прямая $a$ и прямая $b$ не пересекаются (так как для $a$ координата $y=0$, а для $b$ — $y=1$) и не параллельны (их направляющие векторы $(1,0,1)$ и $(1,0,0)$ не коллинеарны). Значит, они скрещиваются.

Прямая $b$ и прямая $c$ также не пересекаются ($y=1$ и $y=0$) и не параллельны (их направляющие векторы $(1,0,0)$ и $(1,0,-1)$ не коллинеарны). Значит, они тоже скрещиваются.

При этом прямые $a$ и $c$ обе лежат в плоскости $Oxz$ и обе проходят через начало координат $(0,0,0)$, то есть они пересекаются в этой точке.

Оба примера доказывают, что из того, что $a$ скрещивается с $b$ и $b$ скрещивается с $c$, не следует, что $a$ скрещивается с $c$.

Ответ: Нет, не следует. Прямые $a$ и $c$ могут быть как параллельными, так и пересекающимися.