Номер 6.3, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.3. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром AB для:

а) параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 6.4, а);

б) призмы $ABCA_1B_1C_1$ (рис. 6.4, б).

Рис. 6.4

а)

Скрещивающиеся прямые (в данном случае, ребра) — это прямые в пространстве, которые не лежат в одной плоскости, то есть они не пересекаются и не параллельны. Чтобы найти ребра, скрещивающиеся с ребром $AB$ в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, мы должны последовательно исключить все ребра, которые параллельны $AB$ или пересекают его.

1. Найдем ребра, параллельные ребру $AB$. В параллелепипеде все грани являются параллелограммами. Из того, что грань $ABCD$ — параллелограмм, следует, что $AB \parallel DC$. Из того, что грань $ABB_1A_1$ — параллелограмм, следует, что $AB \parallel A_1B_1$. Из того, что грань $A_1B_1C_1D_1$ — параллелограмм, следует, что $A_1B_1 \parallel D_1C_1$. Следовательно, ребру $AB$ параллельны ребра: $DC$, $A_1B_1$ и $D_1C_1$.

2. Найдем ребра, пересекающие ребро $AB$. Это ребра, которые имеют с ребром $AB$ общую вершину. В вершине $A$ с ребром $AB$ пересекаются ребра $AD$ и $AA_1$. В вершине $B$ с ребром $AB$ пересекаются ребра $BC$ и $BB_1$. Следовательно, ребро $AB$ пересекают ребра: $AD$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$.

3. Найдем скрещивающиеся ребра. Все остальные ребра параллелепипеда, которые мы не упомянули в пунктах 1 и 2, будут скрещивающимися с ребром $AB$. Всего в параллелепипеде 12 ребер. Исключаем само ребро $AB$ (1), параллельные ему ребра (3) и пересекающие его ребра (4). Остаются $12 - 1 - 3 - 4 = 4$ ребра. Это ребра: $DD_1$, $CC_1$, $D_1A_1$ и $B_1C_1$.

Ответ: $DD_1, CC_1, D_1A_1, B_1C_1$.

б)

Применим тот же метод для нахождения ребер, скрещивающихся с ребром $AB$ в призме $ABCA_1B_1C_1$.

1. Найдем ребра, параллельные ребру $AB$. В призме основания являются равными и параллельными многоугольниками, а боковые грани — параллелограммами. Ребро $A_1B_1$ лежит в верхнем основании и соответствует ребру $AB$ в нижнем. Поскольку основания параллельны, то $A_1B_1 \parallel AB$. Других ребер, параллельных $AB$, в данной призме нет.

2. Найдем ребра, пересекающие ребро $AB$. Это ребра с общими вершинами $A$ или $B$. В вершине $A$ с $AB$ пересекаются ребра $AC$ и $AA_1$. В вершине $B$ с $AB$ пересекаются ребра $BC$ и $BB_1$. Следовательно, ребро $AB$ пересекают ребра: $AC$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$.

3. Найдем скрещивающиеся ребра. Это все оставшиеся ребра призмы. Всего у данной призмы 9 ребер. Исключаем само ребро $AB$ (1), параллельное ему ребро (1) и пересекающие его ребра (4). Остаются $9 - 1 - 1 - 4 = 3$ ребра. Это ребра: $CC_1$, $A_1C_1$ и $B_1C_1$.

Ответ: $CC_1, A_1C_1, B_1C_1$.