Номер 6.2, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6.2. Сколько прямых, скрещивающихся с данной прямой, проходит через точку, взятую вне этой прямой?

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой, то есть $M \notin a$.

Согласно одной из аксиом стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту единственную плоскость, содержащую и прямую $a$, и точку $M$, как $\alpha$.

Рассмотрим любую прямую $b$, которая проходит через точку $M$. Существует два возможных случая расположения прямой $b$ относительно плоскости $\alpha$:
1. Прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$ ($b \subset \alpha$).
2. Прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($b \not\subset \alpha$).

Случай 1: прямая $b$ лежит в плоскости $\alpha$.
Если прямая $b$ проходит через точку $M$ и лежит в той же плоскости $\alpha$, что и прямая $a$, то по определению они не могут быть скрещивающимися, так как лежат в одной плоскости. В этом случае прямая $b$ либо пересекает прямую $a$, либо параллельна ей. Таким образом, ни одна прямая из этой группы не является искомой.

Случай 2: прямая $b$ не лежит в плоскости $\alpha$.
Пусть прямая $b$ проходит через точку $M$, но не лежит в плоскости $\alpha$. Докажем, что в этом случае прямые $a$ и $b$ будут скрещивающимися. Для этого нужно показать, что они не пересекаются и не параллельны.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ пересекаются. Тогда через них, как через две пересекающиеся прямые, можно провести единственную плоскость. Эта плоскость будет содержать прямую $a$ и точку $M$ (так как $M \in b$), а значит, эта плоскость должна совпадать с плоскостью $\alpha$. Следовательно, прямая $b$ должна лежать в плоскости $\alpha$, что противоречит нашему условию ($b \not\subset \alpha$). Значит, прямые $a$ и $b$ не пересекаются.

Теперь предположим, что прямые $a$ и $b$ параллельны. Тогда через них, как через две параллельные прямые, можно провести единственную плоскость. Эта плоскость также будет содержать прямую $a$ и точку $M$ и, следовательно, будет совпадать с плоскостью $\alpha$. Это снова приводит к противоречию, что $b$ должна лежать в $\alpha$. Значит, прямые $a$ и $b$ не параллельны.

Таким образом, любая прямая, проходящая через точку $M$ и не лежащая в плоскости $\alpha$, не пересекает прямую $a$ и не параллельна ей. По определению скрещивающихся прямых, такая прямая скрещивается с прямой $a$.

Осталось определить, сколько таких прямых существует. Через точку $M$ проходит бесконечное множество прямых. Из этого бесконечного множества лишь часть прямых (те, что образуют пучок в плоскости $\alpha$) лежат в плоскости $\alpha$. Все остальные прямые, проходящие через точку $M$, не лежат в плоскости $\alpha$. Таких прямых бесконечно много.

Следовательно, через точку, взятую вне данной прямой, проходит бесконечно много прямых, скрещивающихся с данной прямой.

Ответ: Бесконечно много.