Номер 5.11, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.11. Докажите, что для шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны прямые: а) $AA_1$ и $CC_1$; б) $AA_1$ и $DD_1$ (рис. 5.8).

Рис. 5.8

а) По определению, шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — это многогранник, у которого основаниями являются равные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани являются параллелограммами.

Рассмотрим боковые грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$.

1. Грань $ABB_1A_1$ является параллелограммом. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, боковое ребро $AA_1$ параллельно боковому ребру $BB_1$. Запишем это в виде: $AA_1 \parallel BB_1$.

2. Грань $BCC_1B_1$ также является параллелограммом. Следовательно, её противоположные стороны $BB_1$ и $CC_1$ параллельны: $BB_1 \parallel CC_1$.

3. Мы получили, что прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$, а прямая $BB_1$ в свою очередь параллельна прямой $CC_1$. По теореме о трех параллельных прямых (признак параллельности прямых), если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, из $AA_1 \parallel BB_1$ и $BB_1 \parallel CC_1$ следует, что $AA_1 \parallel CC_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны.

б) Доказательство для прямых $AA_1$ и $DD_1$ проводится аналогично, используя свойство транзитивности параллельности прямых.

1. Как было доказано в пункте а), все боковые ребра призмы параллельны друг другу. Мы уже установили, что $AA_1 \parallel BB_1$ и $BB_1 \parallel CC_1$, из чего следует $AA_1 \parallel CC_1$.

2. Теперь рассмотрим боковую грань $CDD_1C_1$. Это параллелограмм, поэтому его противоположные стороны $CC_1$ и $DD_1$ параллельны: $CC_1 \parallel DD_1$.

3. Мы имеем следующую цепочку параллельностей: $AA_1 \parallel CC_1$ и $CC_1 \parallel DD_1$. Применяя теорему о трех параллельных прямых, заключаем, что $AA_1 \parallel DD_1$.

В общем случае, все боковые ребра призмы ($AA_1, BB_1, CC_1, DD_1, EE_1, FF_1$) параллельны друг другу.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AA_1$ и $DD_1$ параллельны.