Номер 5.9, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.9. Будут ли параллельны ребра $AB$ и $SC$ пирамиды: а) SABCD (рис. 5.6, а); б) SABCDEF (рис. 5.6, б)?

а)

б)

Рис. 5.6

а) Две прямые в пространстве могут быть параллельными только в том случае, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Рассмотрим ребра $AB$ и $SC$ пирамиды $SABCD$.
Ребро $AB$ является стороной основания и целиком лежит в плоскости основания $(ABC)$. Вершина пирамиды $S$ по определению не лежит в плоскости основания.
Прямая $SC$, содержащая ребро $SC$, пересекает плоскость основания $(ABC)$ в точке $C$. Поскольку $ABCD$ является основанием пирамиды, его вершины не лежат на одной прямой, следовательно, точка $C$ не принадлежит прямой $AB$. Таким образом, прямые $AB$ и $SC$ не пересекаются.
Чтобы определить, параллельны ли они, проверим, лежат ли они в одной плоскости. Допустим, что ребра $AB$ и $SC$ параллельны. Тогда через них можно провести плоскость $\alpha$. В этой плоскости будут лежать все четыре точки: $A$, $B$, $S$ и $C$. Однако точки $A$, $B$ и $C$ лежат в плоскости основания, а точка $S$ — нет. Следовательно, четыре точки $A$, $B$, $S$, $C$ не могут лежать в одной плоскости. Мы пришли к противоречию.
Это означает, что исходное допущение о параллельности неверно. Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Ответ: нет, ребра $AB$ и $SC$ не параллельны; они являются скрещивающимися.

б) Рассуждения для шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ полностью аналогичны предыдущему пункту. Ребро $AB$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$, а ребро $SC$ соединяет вершину $S$, не лежащую в этой плоскости, с вершиной основания $C$.
Прямая $AB$ и прямая $SC$ не пересекаются, так как точка $C$ не лежит на прямой $AB$.
Если бы прямые $AB$ и $SC$ были параллельны, они бы определяли некоторую плоскость $\beta$. В этой плоскости лежали бы точки $A$, $B$, $S$ и $C$. Но, как и в случае с четырехугольной пирамидой, точки $A$, $B$ и $C$ лежат в плоскости основания, а точка $S$ находится вне этой плоскости. Следовательно, эти четыре точки некомпланарны (не лежат в одной плоскости).
Таким образом, прямые $AB$ и $SC$ не лежат в одной плоскости и не могут быть параллельными. Они являются скрещивающимися.
Ответ: нет, ребра $AB$ и $SC$ не параллельны; они являются скрещивающимися.