Номер 5.10, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.10. Имеются ли параллельные ребра у правильной:

а) треугольной пирамиды (рис. 5.7, а);

б) пятиугольной пирамиды (рис. 5.7, б)?

а) Рис. 5.7 б)

а)

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду. Ребра пирамиды можно разделить на две группы: ребра основания и боковые ребра.

1. Боковые ребра. Все боковые ребра пирамиды по определению пересекаются в одной точке — вершине пирамиды. Следовательно, никакие два боковых ребра не могут быть параллельными.

2. Ребра основания. Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Стороны любого треугольника попарно пересекаются в его вершинах, поэтому среди ребер основания нет параллельных.

3. Боковое ребро и ребро основания. Любое боковое ребро (например, SA) и ребро основания (например, AB) либо имеют общую вершину (A), то есть пересекаются, либо не имеют общей вершины (например, SA и BC). В последнем случае ребра принадлежат скрещивающимся прямым, так как не лежат в одной плоскости. Две прямые могут быть параллельны только если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Поскольку ребра SA и BC не лежат в одной плоскости, они не могут быть параллельны.

Таким образом, в правильной треугольной пирамиде нет пар параллельных ребер.

Ответ: нет, в правильной треугольной пирамиде параллельных ребер не имеется.

б)

Рассмотрим правильную пятиугольную пирамиду. Как и в любом другом виде пирамид, все ее боковые ребра пересекаются в вершине, а значит, не могут быть параллельны друг другу. Аналогично предыдущему пункту, боковое ребро и ребро основания не могут быть параллельны, так как они либо пересекаются, либо являются скрещивающимися.

Следовательно, единственная возможность существования параллельных ребер в пирамиде — это наличие параллельных ребер в ее основании. Основанием правильной пятиугольной пирамиды является правильный пятиугольник.

В правильном многоугольнике параллельные стороны существуют только в том случае, если у него четное число сторон (например, у квадрата или правильного шестиугольника). У правильного пятиугольника, как и у любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон, нет параллельных сторон. Любые две стороны правильного пятиугольника либо пересекаются в общей вершине, либо их продолжения также пересекаются. Таким образом, в основании данной пирамиды нет параллельных ребер.

Из этого следует, что и во всей правильной пятиугольной пирамиде нет параллельных ребер.

Ответ: нет, в правильной пятиугольной пирамиде параллельных ребер не имеется.