Номер 5.3, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5.3. Запишите ребра параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, параллельные ребру:

а) $AB$;

б) $AA_1$ (рис. 5.3).

Рис. 5.3

Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — это объемная фигура, все шесть граней которой являются параллелограммами. По определению, противоположные ребра параллелепипеда, лежащие в разных основаниях, параллельны и равны. Все 12 ребер можно сгруппировать в три четверки параллельных и равных между собой отрезков.

а) Найдем ребра, параллельные ребру $AB$.

Ребро $AB$ принадлежит нижнему основанию $ABCD$. В параллелепипеде есть еще три ребра, параллельных ребру $AB$.

1. В нижнем основании $ABCD$, которое является параллелограммом, ребро $DC$ является противоположным ребру $AB$, следовательно, они параллельны: $AB \parallel DC$.

2. Ребро $A_1B_1$ принадлежит верхнему основанию $A_1B_1C_1D_1$. Так как основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ параллельны и равны, ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $AB$.

3. Ребро $D_1C_1$ является противоположным ребру $A_1B_1$ в параллелограмме верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$, поэтому $A_1B_1 \parallel D_1C_1$. Из того, что $AB \parallel A_1B_1$ и $A_1B_1 \parallel D_1C_1$, по свойству транзитивности параллельных прямых следует, что $AB \parallel D_1C_1$.

Таким образом, ребра, параллельные $AB$, это $DC$, $A_1B_1$ и $D_1C_1$.

Ответ: $DC, A_1B_1, D_1C_1$.

б) Найдем ребра, параллельные ребру $AA_1$.

Ребро $AA_1$ является боковым ребром, соединяющим основания. Все боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны друг другу.

1. В боковой грани $ABB_1A_1$, которая является параллелограммом, ребро $BB_1$ противоположно ребру $AA_1$, значит $AA_1 \parallel BB_1$.

2. В боковой грани $ADD_1A_1$, которая также является параллелограммом, ребро $DD_1$ противоположно ребру $AA_1$, значит $AA_1 \parallel DD_1$.

3. Ребро $CC_1$ является четвертым боковым ребром, и оно также параллельно остальным трем боковым ребрам по свойству параллелепипеда. Следовательно, $AA_1 \parallel CC_1$.

Таким образом, ребра, параллельные $AA_1$, это $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$.

Ответ: $BB_1, CC_1, DD_1$.