Задания, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Попробуйте доказать самостоятельно, что через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой.

Для доказательства данного утверждения разобьем его на две части: доказательство существования такой прямой и доказательство ее единственности.

1. Доказательство существования

Пусть у нас есть прямая $a$ и точка $M$, которая не лежит на этой прямой ($M \notin a$). Согласно одной из основных аксиом стереометрии, через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем через прямую $a$ и точку $M$ плоскость $\alpha$.

Теперь вся наша задача находится в рамках этой плоскости $\alpha$. В планиметрии (геометрии на плоскости) существует аксиома параллельных прямых (известная как пятый постулат Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Воспользуемся этой аксиомой для плоскости $\alpha$. Проведем в этой плоскости через точку $M$ прямую $b$, параллельную прямой $a$. По определению, две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Наши прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\alpha$ и параллельны в ней (а значит, не пересекаются). Следовательно, прямые $a$ и $b$ параллельны и в пространстве ($a \parallel b$).

Таким образом, мы доказали, что через точку $M$ можно провести как минимум одну прямую, параллельную прямой $a$.

2. Доказательство единственности

Теперь докажем, что такая прямая может быть только одна. Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что существует еще одна прямая, назовем ее $c$, которая также проходит через точку $M$ и параллельна прямой $a$, причем прямые $b$ и $c$ не совпадают ($c \neq b$).

Итак, у нас есть: $M \in b$, $b \parallel a$ и $M \in c$, $c \parallel a$.

Поскольку прямая $c$ параллельна прямой $a$, они по определению лежат в одной плоскости. Обозначим эту плоскость $\beta$. Эта плоскость $\beta$ определяется прямой $a$ и точкой $M$ (так как точка $M$ лежит на прямой $c$). Но мы уже установили, что через прямую $a$ и точку $M$ проходит единственная плоскость $\alpha$. Отсюда следует, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают.

Это означает, что обе прямые, $b$ и $c$, лежат в одной и той же плоскости $\alpha$. Также обе прямые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны одной и той же прямой $a$. Получается, что в плоскости $\alpha$ через точку $M$ проведены две различные прямые, параллельные прямой $a$. Это прямо противоречит аксиоме параллельных прямых для планиметрии, которая утверждает, что такая прямая может быть только одна.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение о существовании второй прямой $c$ было неверным. Следовательно, прямая, проходящая через точку $M$ и параллельная прямой $a$, единственна.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Через точку в пространстве, не принадлежащую данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой.