Номер 4.15, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Рис. 4.7

4.15. На клетчатой бумаге изображены ребра:

а) треугольной; б) шестиугольной призмы

(рис. 4.8). Изобразите всю призму.

а)

б)

Рис. 4.8

а)

Для построения треугольной призмы выполним следующие шаги:

1. Проанализируем исходное изображение. На нем показаны три ребра призмы. Два ребра нижнего основания: одно сплошное горизонтальное и одно пунктирное диагональное, выходящие из одной вершины. Также показано одно сплошное вертикальное боковое ребро. Сплошные линии обозначают видимые ребра, а пунктирные — невидимые.
2. Определим координаты вершин нижнего основания, используя клетки как систему координат. Пусть левая вершина основания, из которой выходят два ребра, имеет координаты $A(1, 1)$. Тогда конец сплошного горизонтального ребра находится в точке $B(4, 1)$, а конец пунктирного ребра — в точке $C(3, 3)$. Таким образом, нижнее основание — это треугольник $ABC$.
3. Вертикальное боковое ребро выходит из точки $B(4, 1)$ и имеет высоту 4 клетки. Это означает, что призма прямая, а ее высота равна 4. Верхняя вершина этого ребра, $B'$, будет иметь координаты $(4, 1+4)$, то есть $B'(4, 5)$.
4. Так как призма прямая, все боковые ребра параллельны и равны. Мы можем найти координаты вершин верхнего основания, прибавив вектор высоты $(0, 4)$ к координатам вершин нижнего основания:
   • $A'(1, 1+4) = A'(1, 5)$
   • $B'(4, 1+4) = B'(4, 5)$
   • $C'(3, 3+4) = C'(3, 7)$
5. Теперь достроим недостающие ребра призмы, определяя их видимость.
   • Нижнее основание: Ребра $AB$ (сплошное) и $AC$ (пунктирное) даны. Нужно достроить ребро $BC$. Так как оно соединяет видимую вершину $B$ с невидимой (судя по ребру $AC$) вершиной $C$ и находится на дне призмы, оно будет невидимым (пунктир).
   • Верхнее основание: Треугольник $A'B'C'$ является верхней гранью, и при взгляде сверху он полностью видим. Поэтому все его ребра ($A'B'$, $B'C'$ и $A'C'$) будут видимыми (сплошные линии).
   • Боковые ребра: Ребро $BB'$ дано (сплошное). Ребро $AA'$ является левым боковым ребром и находится на видимой боковой грани $ABB'A'$, поэтому оно видимо (сплошная линия). Ребро $CC'$ находится сзади и скрыто объемом призмы, поэтому оно невидимо (пунктирная линия).

Изобразим полученную призму на клетчатой бумаге.

Ответ: Изображение достроенной треугольной призмы представлено выше.

б)

Для построения шестиугольной призмы выполним следующие шаги:

1. Проанализируем исходное изображение. На нем показаны три последовательных сплошных ребра нижнего основания и одно пунктирное вертикальное боковое ребро.
2. Определим координаты видимых вершин нижнего основания: $A(2, 3)$, $B(3, 1)$, $C(5, 1)$, $D(6, 2)$. Данные ребра — $AB$, $BC$ и $CD$.
3. Пунктирное боковое ребро показывает положение одной из невидимых вершин нижнего основания и высоту призмы. Нижняя точка ребра находится в $F(4, 2)$, а верхняя — в $F'(4, 5)$. Следовательно, высота призмы равна 3, а $F$ — невидимая вершина основания.
4. Обычно в таких задачах основание является центрально-симметричным шестиугольником. Найдем центр симметрии. В центрально-симметричном шестиугольнике диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (центре). Проверим, являются ли какие-либо из известных вершин противоположными. Например, найдем середину отрезка $BD$: $O = (\frac{3+6}{2}, \frac{1+2}{2}) = (4.5, 2.5)$.
5. Используя этот центр $O(4.5, 2.5)$, найдем остальные вершины как симметричные известным:
   • Вершина, противоположная $C(5, 1)$: $F_{calc} = 2 \cdot O - C = (2 \cdot 4.5 - 5, 2 \cdot 2.5 - 1) = (9-5, 5-1) = (4, 4)$. Это не совпадает с нашей вершиной $F(4, 2)$. Значит, $B$ и $D$ не противоположны.
   • Попробуем другую пару. Пусть $A(2,3)$ и $D(6,2)$ противоположны. Центр $O = (\frac{2+6}{2}, \frac{3+2}{2}) = (4, 2.5)$.
   • Найдем вершину, противоположную $C(5,1)$: $F_{calc} = 2 \cdot O - C = (2 \cdot 4 - 5, 2 \cdot 2.5 - 1) = (8-5, 5-1) = (3, 4)$. Снова не совпадает.
   • Давайте предположим, что в проекции сохраняется свойство параллельности и равенства противоположных сторон. $\vec{BC} = (2,0)$. Противоположная сторона $EF$ должна иметь вектор $\vec{FE} = (2,0)$. $\vec{AB} = (1,-2)$, противоположная $DE$ должна иметь $\vec{ED} = (1,-2)$. Из $D(6,2)$ с вектором $-\vec{ED}=( -1, 2)$ получим $E = (6-1, 2+2)=(5,4)$. Из $E(5,4)$ с вектором $-\vec{FE}=(-2,0)$ получим $F=(5-2, 4)=(3,4)$. Это не совпадает с $F(4,2)$.
   • Вернемся к предположению о центральной симметрии и еще раз проверим пары. Пусть B и E, C и F, A и D - противоположные пары. Известны A,B,C,D,F. Центр O - середина CF: $O=(\frac{5+4}{2}, \frac{1+2}{2}) = (4.5, 1.5)$. Проверим пару B,D: середина $BD$ равна $(\frac{3+6}{2}, \frac{1+2}{2})=(4.5, 1.5)$. Совпадает! Значит, мы нашли центр.
   • Теперь найдем последнюю вершину $E$ как симметричную $A(2,3)$ относительно центра $O(4.5, 1.5)$: $E = 2 \cdot O - A = (2 \cdot 4.5 - 2, 2 \cdot 1.5 - 3) = (9-2, 3-3) = (7, 0)$.
6. Итак, вершины нижнего основания: $A(2, 3), B(3, 1), C(5, 1), D(6, 2), E(7, 0), F(4, 2)$. Вершины верхнего основания (сдвинуты на вектор $(0,3)$): $A'(2, 6), B'(3, 4), C'(5, 4), D'(6, 5), E'(7, 3), F'(4, 5)$.
7. Достроим недостающие ребра, определив их видимость.
   • Нижнее основание: Ребра $AB$, $BC$, $CD$ видимы (дано). Ребро $DE$, соединяющее две передние вершины, также видимо. Ребра $EF$ и $FA$, уходящие к невидимой вершине $F$, являются невидимыми (пунктир).
   • Верхнее основание: Как и в предыдущем случае, все ребра верхней грани ($A'B', B'C', C'D', D'E', E'F', F'A'$) видимы (сплошные).
   • Боковые ребра: Ребро $FF'$ невидимо (дано). Боковые ребра, выходящие из видимых вершин нижнего основания ($A, B, C, D, E$), будут видимы. Это ребра $AA', BB', CC', DD', EE'$.

Изобразим полученную призму на клетчатой бумаге.

Ответ: Изображение достроенной шестиугольной призмы представлено выше.