Номер 4.10, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.10. В четырехугольной пирамиде SABCD укажите пары пересекающихся плоскостей, которые содержат грани этой пирамиды (рис. 4.2, б).

б)
Рис. 4.2

В данной четырехугольной пирамиде $SABCD$ имеется пять граней: основание $ABCD$ и четыре боковые грани: $SAB$, $SBC$, $SCD$ и $SDA$. Каждая грань определяет плоскость в пространстве. Таким образом, у нас есть пять плоскостей: плоскость основания $(ABC)$ и четыре плоскости боковых граней $(SAB)$, $(SBC)$, $(SCD)$ и $(SDA)$.

Две различные плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются по прямой. В пирамиде любые две плоскости, содержащие ее грани, не параллельны, а значит, пересекаются. Найдем все пары таких пересекающихся плоскостей и прямые, по которым они пересекаются.

1. Пересечение плоскости основания с плоскостями боковых граней.

- Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость боковой грани $(SAB)$ пересекаются по прямой $AB$, так как обе плоскости проходят через точки $A$ и $B$.

- Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость боковой грани $(SBC)$ пересекаются по прямой $BC$.

- Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость боковой грани $(SCD)$ пересекаются по прямой $CD$.

- Плоскость основания $(ABC)$ и плоскость боковой грани $(SDA)$ пересекаются по прямой $DA$.

2. Пересечение плоскостей смежных боковых граней.

- Плоскости $(SAB)$ и $(SBC)$ имеют общее боковое ребро $SB$, следовательно, они пересекаются по прямой $SB$.

- Плоскости $(SBC)$ и $(SCD)$ пересекаются по общему ребру, прямой $SC$.

- Плоскости $(SCD)$ и $(SDA)$ пересекаются по общему ребру, прямой $SD$.

- Плоскости $(SDA)$ и $(SAB)$ пересекаются по общему ребру, прямой $SA$.

3. Пересечение плоскостей противолежащих боковых граней.

- Плоскости $(SAB)$ и $(SCD)$ имеют одну общую точку — вершину $S$. Поскольку две непараллельные плоскости пересекаются по прямой, эта прямая должна проходить через точку $S$.

- Плоскости $(SBC)$ и $(SDA)$ также имеют общую точку $S$ и, следовательно, пересекаются по прямой, проходящей через эту вершину.

Таким образом, существует 10 пар пересекающихся плоскостей, содержащих грани пирамиды.

Ответ: Парами пересекающихся плоскостей являются:

1) плоскость $(ABC)$ и плоскость $(SAB)$;

2) плоскость $(ABC)$ и плоскость $(SBC)$;

3) плоскость $(ABC)$ и плоскость $(SCD)$;

4) плоскость $(ABC)$ и плоскость $(SDA)$;

5) плоскость $(SAB)$ и плоскость $(SBC)$;

6) плоскость $(SBC)$ и плоскость $(SCD)$;

7) плоскость $(SCD)$ и плоскость $(SDA)$;

8) плоскость $(SDA)$ и плоскость $(SAB)$;

9) плоскость $(SAB)$ и плоскость $(SCD)$;

10) плоскость $(SBC)$ и плоскость $(SDA)$.