Номер 4.17, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.17. Сколько диагоналей имеет: а) $n$-угольная пирамида; б) $n$-угольная призма?

а) n-угольная пирамида

Диагональю многогранника называется отрезок, который соединяет две его вершины, не принадлежащие одной и той же грани.

Рассмотрим n-угольную пирамиду. Она имеет $n+1$ вершину: $n$ вершин в основании и одну вершину-апекс. Проанализируем все возможные отрезки между вершинами:

1. Отрезок, соединяющий две вершины основания. Эти вершины лежат в одной грани — основании. Следовательно, такой отрезок не является диагональю пирамиды (он является либо стороной основания, либо его диагональю).

2. Отрезок, соединяющий апекс с вершиной основания. Эти вершины лежат на одной из боковых граней (являющейся треугольником). Следовательно, такой отрезок (являющийся боковым ребром) также не является диагональю пирамиды.

Так как любые две вершины пирамиды лежат на одной общей грани (либо на основании, либо на одной из боковых граней), то в n-угольной пирамиде нет диагоналей.

Это можно подтвердить и расчетом по формуле. Число диагоналей многогранника $D$ вычисляется как разность между общим числом отрезков, соединяющих пары вершин ($C_V^2$), числом ребер ($E$) и числом диагоналей на всех гранях ($F_d$): $D = C_V^2 - E - F_d$.

Для n-угольной пирамиды:

Число вершин $V = n+1$.

Число ребер $E = 2n$.

Число диагоналей граней $F_d$ равно числу диагоналей основания $\frac{n(n-3)}{2}$, так как боковые грани — треугольники и диагоналей не имеют.

Общее число отрезков между всеми парами вершин: $C_{n+1}^2 = \frac{n(n+1)}{2}$.

Тогда число диагоналей:

$D = \frac{n(n+1)}{2} - 2n - \frac{n(n-3)}{2} = \frac{n^2+n - 4n - (n^2-3n)}{2} = \frac{n^2-3n-n^2+3n}{2} = 0$.

Ответ: 0.

б) n-угольная призма

В n-угольной призме $2n$ вершин, $3n$ ребер и $n+2$ граней (два n-угольных основания и $n$ четырехугольных боковых граней).

Для нахождения числа диагоналей воспользуемся двумя способами.

Способ 1: Использование общей формулы.

Число диагоналей многогранника: $D = C_V^2 - E - F_d$.

Найдем компоненты для n-угольной призмы:

Число вершин $V = 2n$. Общее число отрезков между всеми парами вершин: $C_{2n}^2 = \frac{2n(2n-1)}{2} = 2n^2-n$.

Число ребер $E = 3n$.

Число диагоналей на гранях $F_d$. Два n-угольных основания содержат $2 \cdot \frac{n(n-3)}{2} = n(n-3)$ диагоналей. $n$ боковых граней-четырехугольников содержат $n \cdot 2 = 2n$ диагоналей. Всего на гранях: $F_d = n(n-3) + 2n = n^2-3n+2n = n^2-n$.

Теперь подставим все в формулу:

$D = (2n^2 - n) - 3n - (n^2 - n) = 2n^2 - 4n - n^2 + n = n^2 - 3n = n(n-3)$.

Способ 2: Логический подсчет.

Диагональ призмы может соединять только вершину одного основания с вершиной другого, не лежащей с ней на одной боковой грани.

Возьмем одну вершину на нижнем основании. Из $n$ вершин верхнего основания нужно исключить ту, что соединена с нашей вершиной боковым ребром, и две соседние с ней (с ними наша вершина образует боковые грани). Итого исключаем $1+2=3$ вершины.

Значит, из одной вершины выходит $n-3$ диагонали. Так как в основании $n$ вершин, а каждая диагональ соединяет две вершины, общее число диагоналей равно $n \cdot (n-3)$.

Ответ: $n(n-3)$.