Проверь себя!, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько прямых можно провести через одну точку пространства:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

2. Сколько плоскостей можно провести через одну точку пространства:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

3. Сколько прямых можно провести через две точки пространства:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

4. Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек пространства, не принадлежащих одной прямой:
A. Ни одной.
B. Три.
C. Шесть.
D. Бесконечно много?

5. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из четырех точек пространства:
A. Четыре.
B. Пять.
C. Шесть.
D. Восемь?

6. Сколько общих точек имеют две пересекающиеся плоскости:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

7. Сколько плоскостей можно провести через две точки пространства:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Две.
D. Бесконечно много?

8. Сколько плоскостей можно провести через три точки пространства, не принадлежащие одной прямой:
A. Ни одной.
B. Одну.
C. Три.
D. Бесконечно много?

9*. Сколько плоскостей можно провести через три вершины куба:
A. Одну.
B. Четыре.
C. Шесть.
D. Бесконечно много?

10*. Найдите число диагоналей прямоугольного параллелепипеда:
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 8.

11*. Найдите число диагоналей 6-угольной призмы:
A. 6.
B. 12.
C. 9.
D. 18.

12*. Какой многоугольник лежит в основании пирамиды, имеющей 12 ребер:
A. Треугольник.
B. Четырехугольник.
C. Шестиугольник.
D. Двенадцатиугольник?

13*. Какой многоугольник лежит в основании призмы, имеющей 36 ребер:
A. Шестиугольник.
B. Девятиугольник.
C. Двенадцатиугольник.
D. Тридцатишестиугольник?

14*. Призма имеет 18 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании:
A. Треугольник.
B. Шестиугольник.
C. Девятиугольник.
D. Восемнадцатиугольник?

15*. Пирамида имеет 10 вершин. Какой многоугольник лежит в ее основании:
A. Пятиугольник.
B. Шестиугольник.
C. Восьмиугольник.
D. Девятиугольник?

1. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых. Представьте точку как центр сферы: любая прямая, проходящая через центр, удовлетворяет условию.
Ответ: D. Бесконечно много.

2. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество плоскостей. Представьте точку как шарнир, на котором вращается книга: каждая страница книги представляет собой плоскость, проходящую через эту точку.
Ответ: D. Бесконечно много.

3. Согласно аксиоме стереометрии, через любые две различные точки в пространстве можно провести прямую, и притом только одну.
Ответ: B. Одну.

4. Пусть даны три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Можно образовать три уникальные пары точек: (A, B), (B, C) и (A, C). Каждая пара определяет единственную прямую. Таким образом, можно провести три прямые. Это также можно рассчитать как число сочетаний из 3 по 2: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.
Ответ: B. Три.

5. Чтобы получить наибольшее число прямых, нужно, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой. Число прямых равно числу пар, которые можно составить из четырех точек. Это число сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{4} = 6$.
Ответ: C. Шесть.

6. Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Прямая состоит из бесконечного множества точек.
Ответ: D. Бесконечно много.

7. Через две точки проходит единственная прямая. Через эту прямую можно провести бесконечное множество плоскостей. Представьте прямую как ось вращения: любая плоскость, содержащая эту ось, подходит.
Ответ: D. Бесконечно много.

8. Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Ответ: B. Одну.

9*. Вопрос можно интерпретировать по-разному. Общее число различных плоскостей, которые можно провести через тройки вершин куба, равно 20 (6 граней, 6 диагональных сечений, 8 "угловых" сечений). Поскольку этого варианта нет, рассмотрим другие толкования.
Одно из возможных толкований — это количество плоскостей симметрии, проходящих через ребра куба. Таких плоскостей 6 (они проходят через пары противолежащих ребер). Также у куба 6 граней, каждая из которых является плоскостью, определенной тремя ее вершинами. Оба этих толкования приводят к ответу 6.
Ответ: C. Шесть.

10*. Прямоугольный параллелепипед имеет 8 вершин. Диагональ (пространственная) соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани. У каждой вершины есть ровно одна противолежащая ей вершина. Таким образом, можно образовать 4 пары противолежащих вершин, которые и определяют 4 диагонали.
Ответ: B. 4.

11*. У 6-угольной призмы есть два основания (шестиугольники) и 6 боковых граней (прямоугольники). Общее число вершин $V = 2 \times 6 = 12$. Диагональ многогранника — это отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.
Общее число отрезков, соединяющих пары вершин: $C_{12}^2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$.
Из них нужно вычесть ребра и диагонали граней.
Число ребер $E = 6+6+6 = 18$.
Число диагоналей в двух шестиугольных основаниях: $2 \times (\frac{6(6-3)}{2}) = 2 \times 9 = 18$.
Число диагоналей в 6 прямоугольных боковых гранях: $6 \times 2 = 12$.
Итого диагоналей призмы: $66 - 18 - 18 - 12 = 18$.
Ответ: D. 18.

12*. Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У этого основания n ребер. Еще n ребер соединяют вершины основания с вершиной пирамиды. Общее число ребер $E = n + n = 2n$. По условию $E = 12$, значит $2n = 12$, откуда $n=6$. В основании лежит шестиугольник.
Ответ: C. Шестиугольник.

13*. Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У призмы два таких основания, что дает $2n$ ребер. Еще n ребер соединяют соответствующие вершины оснований. Общее число ребер $E = 2n + n = 3n$. По условию $E = 36$, значит $3n = 36$, откуда $n=12$. В основании лежит двенадцатиугольник.
Ответ: C. Двенадцатиугольник.

14*. Пусть в основании призмы лежит n-угольник. У призмы два основания, на каждом из которых по n вершин. Общее число вершин $V = n + n = 2n$. По условию $V = 18$, значит $2n = 18$, откуда $n=9$. В основании лежит девятиугольник.
Ответ: C. Девятиугольник.

15*. Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У пирамиды n вершин в основании и одна вершина (апекс). Общее число вершин $V = n + 1$. По условию $V = 10$, значит $n+1 = 10$, откуда $n=9$. В основании лежит девятиугольник.
Ответ: D. Девятиугольник.