Номер 4.14, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.14. Нарисуйте развертку правильной шестиугольной:
а) призмы;
б) пирамиды.

Изготовьте развертки и склейте из них модели правильной шестиугольной:
а) призмы;
б) пирамиды.

а) призмы

Правильная шестиугольная призма — это призма, в основаниях которой лежат два равных правильных шестиугольника, а боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными основаниям.

Описание и построение развертки:
Развертка правильной шестиугольной призмы состоит из развертки боковой поверхности и двух оснований.
1. Боковая поверхность: В развернутом виде представляет собой один большой прямоугольник. Этот прямоугольник состоит из шести соединенных друг с другом одинаковых прямоугольников, являющихся боковыми гранями призмы. Пусть сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a$, а высота призмы равна $h$. Тогда каждая боковая грань — это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Развертка всей боковой поверхности будет представлять собой прямоугольник с высотой $h$ и длиной, равной периметру основания, то есть $6a$.
2. Основания: Это два равных правильных шестиугольника со стороной $a$. На чертеже развертки их пристраивают к противоположным сторонам (например, верхней и нижней) одного из шести прямоугольников, составляющих боковую поверхность.

Изготовление модели:
1. На листе плотной бумаги или картона начертите развертку: сначала большой прямоугольник ($6a \times h$), разделенный на шесть секций ($a \times h$), а затем два правильных шестиугольника со стороной $a$, примыкающих к одной из секций сверху и снизу. Для удобства склейки добавьте небольшие клапаны на некоторых сторонах.
2. Вырежьте развертку по внешнему контуру.
3. Согните заготовку по всем внутренним линиям.
4. Склейте боковую поверхность, соединив крайние прямоугольники, чтобы получилась шестигранная "труба".
5. Приклейте основания к торцам получившейся фигуры.

Ответ: Развертка правильной шестиугольной призмы состоит из прямоугольника, разделенного на шесть равных частей (боковые грани), и двух равных правильных шестиугольников (оснований), примыкающих к одной из частей этого прямоугольника с противоположных сторон.

б) пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники, сходящиеся в общей вершине (апексе).

Описание и построение развертки:
Развертка правильной шестиугольной пирамиды состоит из основания и развертки боковой поверхности.
1. Основание: Представляет собой правильный шестиугольник со стороной $a$.
2. Боковая поверхность: В развернутом виде представляет собой шесть одинаковых равнобедренных треугольников. Основание каждого треугольника равно стороне шестиугольника $a$. Две другие (боковые) стороны каждого треугольника равны между собой и являются боковыми ребрами пирамиды. Обозначим длину бокового ребра как $l$. Для того чтобы пирамиду можно было собрать, должно выполняться условие $l > a/ \sqrt{3}$.
На чертеже развертки шесть равнобедренных треугольников примыкают своими основаниями к каждой из шести сторон шестиугольника, образуя фигуру, похожую на шестиконечную звезду.

Изготовление модели:
1. Начертите на бумаге или картоне правильный шестиугольник со стороной $a$.
2. К каждой стороне шестиугольника пристройте равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковыми сторонами $l$. Для построения треугольника из каждой вершины стороны $a$ проведите циркулем дугу радиусом $l$; точка пересечения дуг будет третьей вершиной треугольника.
3. К одной из крайних боковых сторон одного из треугольников добавьте клапан для склейки.
4. Вырежьте получившуюся фигуру по внешнему контуру.
5. Согните заготовку по линиям, отделяющим треугольники от шестиугольника.
6. Поднимите треугольники так, чтобы их вершины сошлись в одной точке. Склейте боковую поверхность, соединив крайние треугольники с помощью клапана.

Ответ: Развертка правильной шестиугольной пирамиды состоит из правильного шестиугольника (основания) и шести равных равнобедренных треугольников (боковых граней), которые примыкают своими основаниями к сторонам этого шестиугольника.