Страница 36 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4.12. На рисунке 4.6 найдите фигуры, которые являются развертками пирамид. Выясните их вид.

а)

б)

в)

г)

Рис. 4.6

а) Данная фигура является разверткой пирамиды. Она состоит из одного квадрата, который будет служить основанием пирамиды, и четырех треугольников, которые являются боковыми гранями. При сворачивании развертки все вершины треугольников, не принадлежащие основанию, сойдутся в одной точке — вершине пирамиды. Так как в основании лежит четырехугольник (квадрат), то эта пирамида является четырехугольной.
Ответ: Фигура а) является разверткой четырехугольной пирамиды.

б) Эта фигура не является разверткой пирамиды. Она состоит из трех прямоугольников и двух треугольников. При сворачивании эта фигура образует прямую треугольную призму, где треугольники являются основаниями, а прямоугольники — боковыми гранями. У пирамиды должна быть только одна грань в основании, а все боковые грани — треугольники с общей вершиной.
Ответ: Фигура б) не является разверткой пирамиды.

в) Данная фигура является разверткой пирамиды. Центральная фигура — квадрат, который станет основанием. К каждой стороне квадрата примыкает треугольник. Эти четыре треугольника образуют боковые грани. При сгибании по сторонам квадрата все четыре треугольника сойдутся своими вершинами в одной точке, образуя вершину пирамиды. Поскольку основанием является четырехугольник, это четырехугольная пирамида.
Ответ: Фигура в) является разверткой четырехугольной пирамиды.

г) Эта фигура не является разверткой пирамиды. Развертка пирамиды должна состоять из многоугольника-основания и треугольников-боковых граней, число которых равно числу сторон основания. В данной фигуре присутствуют грани разной формы (треугольники, трапеция, пятиугольник), что не соответствует строению пирамиды, у которой все боковые грани должны быть треугольниками.
Ответ: Фигура г) не является разверткой пирамиды.

4.13. Разверткой какого многогранника может служить фигура, изображенная на рисунке 4.7?

Рис. 4.7

Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой развертку многогранника. Эта фигура, пятиконечная звезда, состоит из центрального правильного пятиугольника и пяти равнобедренных треугольников, которые примыкают к сторонам этого пятиугольника.

Чтобы собрать многогранник из этой развертки, нужно мысленно согнуть ее. Центральный пятиугольник станет основанием будущего многогранника. Пять треугольников, являющихся "лучами" звезды, будут согнуты вверх по общим сторонам с пятиугольником. При этом их боковые стороны соединятся друг с другом, образуя боковые ребра, а их вершины сойдутся в одной общей точке над центром основания. Эта точка будет являться вершиной (апексом) многогранника.

Многогранник, у которого одна грань (основание) — многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину, называется пирамидой. Поскольку в основании данного многогранника лежит пятиугольник, то этот многогранник является пятиугольной пирамидой.

У получившейся пятиугольной пирамиды будет:
• 6 граней (1 пятиугольник в основании и 5 треугольных боковых граней).
• 10 рёбер (5 рёбер в основании и 5 боковых рёбер).
• 6 вершин (5 вершин при основании и 1 вершина-апекс).

Эти параметры соответствуют теореме Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней. Для нашей пирамиды: $6 - 10 + 6 = 2$.

Ответ: Фигура является разверткой пятиугольной пирамиды.

4.14. Нарисуйте развертку правильной шестиугольной:
а) призмы;
б) пирамиды.

Изготовьте развертки и склейте из них модели правильной шестиугольной:
а) призмы;
б) пирамиды.

а) призмы

Правильная шестиугольная призма — это призма, в основаниях которой лежат два равных правильных шестиугольника, а боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными основаниям.

Описание и построение развертки:
Развертка правильной шестиугольной призмы состоит из развертки боковой поверхности и двух оснований.
1. Боковая поверхность: В развернутом виде представляет собой один большой прямоугольник. Этот прямоугольник состоит из шести соединенных друг с другом одинаковых прямоугольников, являющихся боковыми гранями призмы. Пусть сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a$, а высота призмы равна $h$. Тогда каждая боковая грань — это прямоугольник со сторонами $a$ и $h$. Развертка всей боковой поверхности будет представлять собой прямоугольник с высотой $h$ и длиной, равной периметру основания, то есть $6a$.
2. Основания: Это два равных правильных шестиугольника со стороной $a$. На чертеже развертки их пристраивают к противоположным сторонам (например, верхней и нижней) одного из шести прямоугольников, составляющих боковую поверхность.

Изготовление модели:
1. На листе плотной бумаги или картона начертите развертку: сначала большой прямоугольник ($6a \times h$), разделенный на шесть секций ($a \times h$), а затем два правильных шестиугольника со стороной $a$, примыкающих к одной из секций сверху и снизу. Для удобства склейки добавьте небольшие клапаны на некоторых сторонах.
2. Вырежьте развертку по внешнему контуру.
3. Согните заготовку по всем внутренним линиям.
4. Склейте боковую поверхность, соединив крайние прямоугольники, чтобы получилась шестигранная "труба".
5. Приклейте основания к торцам получившейся фигуры.

Ответ: Развертка правильной шестиугольной призмы состоит из прямоугольника, разделенного на шесть равных частей (боковые грани), и двух равных правильных шестиугольников (оснований), примыкающих к одной из частей этого прямоугольника с противоположных сторон.

б) пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида — это пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники, сходящиеся в общей вершине (апексе).

Описание и построение развертки:
Развертка правильной шестиугольной пирамиды состоит из основания и развертки боковой поверхности.
1. Основание: Представляет собой правильный шестиугольник со стороной $a$.
2. Боковая поверхность: В развернутом виде представляет собой шесть одинаковых равнобедренных треугольников. Основание каждого треугольника равно стороне шестиугольника $a$. Две другие (боковые) стороны каждого треугольника равны между собой и являются боковыми ребрами пирамиды. Обозначим длину бокового ребра как $l$. Для того чтобы пирамиду можно было собрать, должно выполняться условие $l > a/ \sqrt{3}$.
На чертеже развертки шесть равнобедренных треугольников примыкают своими основаниями к каждой из шести сторон шестиугольника, образуя фигуру, похожую на шестиконечную звезду.

Изготовление модели:
1. Начертите на бумаге или картоне правильный шестиугольник со стороной $a$.
2. К каждой стороне шестиугольника пристройте равнобедренный треугольник с основанием $a$ и боковыми сторонами $l$. Для построения треугольника из каждой вершины стороны $a$ проведите циркулем дугу радиусом $l$; точка пересечения дуг будет третьей вершиной треугольника.
3. К одной из крайних боковых сторон одного из треугольников добавьте клапан для склейки.
4. Вырежьте получившуюся фигуру по внешнему контуру.
5. Согните заготовку по линиям, отделяющим треугольники от шестиугольника.
6. Поднимите треугольники так, чтобы их вершины сошлись в одной точке. Склейте боковую поверхность, соединив крайние треугольники с помощью клапана.

Ответ: Развертка правильной шестиугольной пирамиды состоит из правильного шестиугольника (основания) и шести равных равнобедренных треугольников (боковых граней), которые примыкают своими основаниями к сторонам этого шестиугольника.

Рис. 4.7

4.15. На клетчатой бумаге изображены ребра:

а) треугольной; б) шестиугольной призмы

(рис. 4.8). Изобразите всю призму.

а)

б)

Рис. 4.8

а)

Для построения треугольной призмы выполним следующие шаги:

1. Проанализируем исходное изображение. На нем показаны три ребра призмы. Два ребра нижнего основания: одно сплошное горизонтальное и одно пунктирное диагональное, выходящие из одной вершины. Также показано одно сплошное вертикальное боковое ребро. Сплошные линии обозначают видимые ребра, а пунктирные — невидимые.
2. Определим координаты вершин нижнего основания, используя клетки как систему координат. Пусть левая вершина основания, из которой выходят два ребра, имеет координаты $A(1, 1)$. Тогда конец сплошного горизонтального ребра находится в точке $B(4, 1)$, а конец пунктирного ребра — в точке $C(3, 3)$. Таким образом, нижнее основание — это треугольник $ABC$.
3. Вертикальное боковое ребро выходит из точки $B(4, 1)$ и имеет высоту 4 клетки. Это означает, что призма прямая, а ее высота равна 4. Верхняя вершина этого ребра, $B'$, будет иметь координаты $(4, 1+4)$, то есть $B'(4, 5)$.
4. Так как призма прямая, все боковые ребра параллельны и равны. Мы можем найти координаты вершин верхнего основания, прибавив вектор высоты $(0, 4)$ к координатам вершин нижнего основания:
   • $A'(1, 1+4) = A'(1, 5)$
   • $B'(4, 1+4) = B'(4, 5)$
   • $C'(3, 3+4) = C'(3, 7)$
5. Теперь достроим недостающие ребра призмы, определяя их видимость.
   • Нижнее основание: Ребра $AB$ (сплошное) и $AC$ (пунктирное) даны. Нужно достроить ребро $BC$. Так как оно соединяет видимую вершину $B$ с невидимой (судя по ребру $AC$) вершиной $C$ и находится на дне призмы, оно будет невидимым (пунктир).
   • Верхнее основание: Треугольник $A'B'C'$ является верхней гранью, и при взгляде сверху он полностью видим. Поэтому все его ребра ($A'B'$, $B'C'$ и $A'C'$) будут видимыми (сплошные линии).
   • Боковые ребра: Ребро $BB'$ дано (сплошное). Ребро $AA'$ является левым боковым ребром и находится на видимой боковой грани $ABB'A'$, поэтому оно видимо (сплошная линия). Ребро $CC'$ находится сзади и скрыто объемом призмы, поэтому оно невидимо (пунктирная линия).

Изобразим полученную призму на клетчатой бумаге.

Ответ: Изображение достроенной треугольной призмы представлено выше.

б)

Для построения шестиугольной призмы выполним следующие шаги:

1. Проанализируем исходное изображение. На нем показаны три последовательных сплошных ребра нижнего основания и одно пунктирное вертикальное боковое ребро.
2. Определим координаты видимых вершин нижнего основания: $A(2, 3)$, $B(3, 1)$, $C(5, 1)$, $D(6, 2)$. Данные ребра — $AB$, $BC$ и $CD$.
3. Пунктирное боковое ребро показывает положение одной из невидимых вершин нижнего основания и высоту призмы. Нижняя точка ребра находится в $F(4, 2)$, а верхняя — в $F'(4, 5)$. Следовательно, высота призмы равна 3, а $F$ — невидимая вершина основания.
4. Обычно в таких задачах основание является центрально-симметричным шестиугольником. Найдем центр симметрии. В центрально-симметричном шестиугольнике диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (центре). Проверим, являются ли какие-либо из известных вершин противоположными. Например, найдем середину отрезка $BD$: $O = (\frac{3+6}{2}, \frac{1+2}{2}) = (4.5, 2.5)$.
5. Используя этот центр $O(4.5, 2.5)$, найдем остальные вершины как симметричные известным:
   • Вершина, противоположная $C(5, 1)$: $F_{calc} = 2 \cdot O - C = (2 \cdot 4.5 - 5, 2 \cdot 2.5 - 1) = (9-5, 5-1) = (4, 4)$. Это не совпадает с нашей вершиной $F(4, 2)$. Значит, $B$ и $D$ не противоположны.
   • Попробуем другую пару. Пусть $A(2,3)$ и $D(6,2)$ противоположны. Центр $O = (\frac{2+6}{2}, \frac{3+2}{2}) = (4, 2.5)$.
   • Найдем вершину, противоположную $C(5,1)$: $F_{calc} = 2 \cdot O - C = (2 \cdot 4 - 5, 2 \cdot 2.5 - 1) = (8-5, 5-1) = (3, 4)$. Снова не совпадает.
   • Давайте предположим, что в проекции сохраняется свойство параллельности и равенства противоположных сторон. $\vec{BC} = (2,0)$. Противоположная сторона $EF$ должна иметь вектор $\vec{FE} = (2,0)$. $\vec{AB} = (1,-2)$, противоположная $DE$ должна иметь $\vec{ED} = (1,-2)$. Из $D(6,2)$ с вектором $-\vec{ED}=( -1, 2)$ получим $E = (6-1, 2+2)=(5,4)$. Из $E(5,4)$ с вектором $-\vec{FE}=(-2,0)$ получим $F=(5-2, 4)=(3,4)$. Это не совпадает с $F(4,2)$.
   • Вернемся к предположению о центральной симметрии и еще раз проверим пары. Пусть B и E, C и F, A и D - противоположные пары. Известны A,B,C,D,F. Центр O - середина CF: $O=(\frac{5+4}{2}, \frac{1+2}{2}) = (4.5, 1.5)$. Проверим пару B,D: середина $BD$ равна $(\frac{3+6}{2}, \frac{1+2}{2})=(4.5, 1.5)$. Совпадает! Значит, мы нашли центр.
   • Теперь найдем последнюю вершину $E$ как симметричную $A(2,3)$ относительно центра $O(4.5, 1.5)$: $E = 2 \cdot O - A = (2 \cdot 4.5 - 2, 2 \cdot 1.5 - 3) = (9-2, 3-3) = (7, 0)$.
6. Итак, вершины нижнего основания: $A(2, 3), B(3, 1), C(5, 1), D(6, 2), E(7, 0), F(4, 2)$. Вершины верхнего основания (сдвинуты на вектор $(0,3)$): $A'(2, 6), B'(3, 4), C'(5, 4), D'(6, 5), E'(7, 3), F'(4, 5)$.
7. Достроим недостающие ребра, определив их видимость.
   • Нижнее основание: Ребра $AB$, $BC$, $CD$ видимы (дано). Ребро $DE$, соединяющее две передние вершины, также видимо. Ребра $EF$ и $FA$, уходящие к невидимой вершине $F$, являются невидимыми (пунктир).
   • Верхнее основание: Как и в предыдущем случае, все ребра верхней грани ($A'B', B'C', C'D', D'E', E'F', F'A'$) видимы (сплошные).
   • Боковые ребра: Ребро $FF'$ невидимо (дано). Боковые ребра, выходящие из видимых вершин нижнего основания ($A, B, C, D, E$), будут видимы. Это ребра $AA', BB', CC', DD', EE'$.

Изобразим полученную призму на клетчатой бумаге.

Ответ: Изображение достроенной шестиугольной призмы представлено выше.