Страница 30 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, подобны ли любые два:

а) куба;

б) параллелепипеда?

а) куба

Два тела называются подобными, если одно может быть получено из другого путем увеличения или уменьшения всех его линейных размеров в одинаковое число раз. Это число называется коэффициентом подобия.

Куб — это правильный многогранник, все ребра которого равны между собой. Обозначим длину ребра одного куба как $a_1$, а другого — как $a_2$.

Чтобы проверить, подобны ли эти два куба, нужно найти отношение их соответствующих линейных размеров. У куба все ребра равны, поэтому отношение любых двух соответствующих ребер будет одинаковым: $k = \frac{a_2}{a_1}$

Поскольку все углы у любого куба также одинаковы (все двугранные углы прямые), то условие подобия выполняется для любых двух кубов. Один куб всегда можно получить из другого путем равномерного масштабирования (растяжения или сжатия) вдоль всех осей с коэффициентом $k$.

Таким образом, любые два куба всегда подобны друг другу.

Ответ: да, любые два куба подобны.

б) параллелепипеда

Параллелепипед в общем случае (рассмотрим для простоты прямоугольный параллелепипед) характеризуется тремя измерениями: длиной ($a$), шириной ($b$) и высотой ($c$).

Для того чтобы два параллелепипеда были подобны, необходимо, чтобы отношения всех их соответствующих измерений были равны одному и тому же числу — коэффициенту подобия $k$.

Пусть у нас есть два прямоугольных параллелепипеда:

1. Параллелепипед П₁ с измерениями $a_1, b_1, c_1$.

2. Параллелепипед П₂ с измерениями $a_2, b_2, c_2$.

Для их подобия должно выполняться условие: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Однако это условие выполняется не всегда. Рассмотрим контрпример:

Пусть параллелепипед П₁ — это куб со стороной 1, т.е. его размеры $a_1=1, b_1=1, c_1=1$.

А параллелепипед П₂ имеет размеры $a_2=2, b_2=3, c_2=4$.

Найдем отношения их соответствующих сторон: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{1} = 2$
$\frac{b_2}{b_1} = \frac{3}{1} = 3$
$\frac{c_2}{c_1} = \frac{4}{1} = 4$

Поскольку отношения не равны друг другу ($2 \neq 3 \neq 4$), эти два параллелепипеда не являются подобными. Следовательно, не любые два параллелепипеда подобны.

Ответ: нет, не любые два параллелепипеда подобны.

Вопросы

1. Какая фигура в пространстве называется многогранником?

2. Что называется диагональю многогранника?

3. Какой многогранник называется: а) кубом; б) параллелепипедом; в) тетраэдром?

4. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

5. Как обозначают: а) куб; б) параллелепипед; в) тетраэдр?

6. Приведите примеры предметов из окружающего нас мира, имеющих форму: а) куба; б) параллелепипеда; в) тетраэдра.

7. Что называется разверткой многогранника?

8. Какое преобразование пространства называется движением?

9. Какие фигуры в пространстве называются равными?

10. Какое преобразование пространства называется подобием?

11. Какие фигуры в пространстве называются подобными?

1. Какая фигура в пространстве называется многогранником?

Многогранником называется геометрическое тело, ограниченное со всех сторон конечным числом плоских многоугольников, которые называются гранями. Отрезки, по которым пересекаются грани, называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника.
Ответ: Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

2. Что называется диагональю многогранника?

Диагональю многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной и той же грани. Важно отличать диагональ многогранника от диагонали его грани.
Ответ: Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

3. Какой многогранник называется: а) кубом; б) параллелепипедом; в) тетраэдром?

а) кубом

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения (длина, ширина и высота) равны. Все шесть граней куба являются равными квадратами.
Ответ: Прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

б) параллелепипедом

Параллелепипедом называется многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм. Он является призмой, основанием которой служит параллелограмм.
Ответ: Многогранник, у которого все грани являются параллелограммами.

в) тетраэдром

Тетраэдром называется многогранник, у которого четыре грани, и все они являются треугольниками. Тетраэдр также называют треугольной пирамидой. У него 4 вершины и 6 рёбер.
Ответ: Многогранник, состоящий из четырех треугольных граней.

4. Какой параллелепипед называется прямоугольным?

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Это означает, что его боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований.
Ответ: Параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.

5. Как обозначают: а) куб; б) параллелепипед; в) тетраэдр?

Многогранники обозначают, перечисляя последовательно все его вершины. Например, а) куб или б) параллелепипед с вершинами $A, B, C, D$ в нижнем основании и $A_1, B_1, C_1, D_1$ в верхнем основании обозначают как $ABCDA_1B_1C_1D_1$. в) Тетраэдр с вершинами $D, A, B, C$ обозначают как $DABC$.
Ответ: Многогранники обозначают перечислением их вершин.

6. Приведите примеры предметов из окружающего нас мира, имеющих форму: а) куба; б) параллелепипеда; в) тетраэдра.

а) куба

Предметы в форме куба: игральный кубик, кубик Рубика, кусок сахара-рафинада, некоторые подарочные коробки.
Ответ: Игральный кубик, кубик Рубика.

б) параллелепипеда

Предметы в форме параллелепипеда (в частности, прямоугольного): кирпич, книга, системный блок компьютера, шкаф, коробка из-под обуви, здание.
Ответ: Кирпич, книга, здание.

в) тетраэдра

Предметы в форме тетраэдра встречаются реже: некоторые виды упаковки (например, пакеты для молока или сока), пирамидальный чайный пакетик, некоторые архитектурные элементы.
Ответ: Пакет молока или сока треугольной формы, пирамидальный чайный пакетик.

7. Что называется разверткой многогранника?

Развёрткой многогранника называется плоская фигура, полученная путём "разрезания" поверхности многогранника по некоторым рёбрам и разворачивания её на плоскость. Эта фигура состоит из граней многогранника, соединённых между собой так, что при сгибании по линиям соединения можно снова собрать исходный многогранник.
Ответ: Плоская фигура, из которой можно сложить поверхность многогранника.

8. Какое преобразование пространства называется движением?

Движением (или изометрией) называется такое преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. То есть, если точки $M$ и $N$ при движении переходят в точки $M_1$ и $N_1$, то расстояние между ними не меняется: $MN = M_1N_1$. Примерами движения являются параллельный перенос, поворот и симметрия.
Ответ: Преобразование пространства, сохраняющее расстояние между точками.

9. Какие фигуры в пространстве называются равными?

Две фигуры в пространстве называются равными (или конгруэнтными), если одну из них можно перевести в другую с помощью движения. Это означает, что фигуры можно совместить наложением, и они имеют одинаковую форму и размеры.
Ответ: Фигуры, которые можно совместить движением.

10. Какое преобразование пространства называется подобием?

Подобием (или преобразованием подобия) называется такое преобразование пространства, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ и их образов $M_1$ и $N_1$ отношение расстояний постоянно и равно некоторому положительному числу $k$, называемому коэффициентом подобия. То есть $M_1N_1 = k \cdot MN$. При таком преобразовании сохраняется форма фигур, но изменяются их размеры (если $k \ne 1$).
Ответ: Преобразование пространства, при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз.

11. Какие фигуры в пространстве называются подобными?

Две фигуры в пространстве называются подобными, если одна из них может быть получена из другой путём преобразования подобия. Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут иметь разные размеры. Все их соответствующие углы равны, а соответствующие линейные размеры пропорциональны.
Ответ: Фигуры, которые можно перевести одну в другую преобразованием подобия.