Страница 27 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите самостоятельно, что для любой плоскости найдутся точки, ей не принадлежащие.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного и одной из основных аксиом стереометрии.

Допустим, что утверждение неверно. То есть, предположим, что существует такая плоскость, назовем ее $\alpha$, которой принадлежат все без исключения точки пространства.

Однако, согласно одной из аксиом стереометрии (которую часто обозначают как аксиома С2), существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Наше допущение вступает в прямое противоречие с этой аксиомой. Если бы все точки пространства лежали в плоскости $\alpha$, то и любые четыре точки, которые мы бы ни взяли, также должны были бы лежать в этой плоскости. Но аксиома гарантирует существование таких четырех точек, которые как раз не лежат в одной плоскости.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, не может существовать плоскость, которая содержит в себе все точки пространства. А это означает, что для любой произвольно взятой плоскости всегда найдутся точки, которые ей не принадлежат.

Ответ: Утверждение доказывается методом от противного. Предположение о существовании плоскости, содержащей все точки пространства, противоречит аксиоме стереометрии о том, что существуют четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Следовательно, для любой плоскости всегда существуют точки, ей не принадлежащие.

Как вы думаете, сколько плоскостей проходит через две точки пространства?

Через две различные точки в пространстве можно провести единственную прямую линию. Эта прямая будет полностью принадлежать любой плоскости, проходящей через эти две точки, согласно одной из аксиом стереометрии (если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости).

Следовательно, задача сводится к вопросу: сколько плоскостей можно провести через одну прямую?

Для того чтобы однозначно задать плоскость, необходимо три точки, не лежащие на одной прямой. У нас есть две точки, определяющие прямую. Чтобы задать конкретную плоскость, нам нужна третья точка, не лежащая на этой прямой. В пространстве существует бесконечное множество точек, которые не лежат на заданной прямой. Каждая такая точка, взятая вместе с двумя исходными, будет определять новую, уникальную плоскость.

Можно использовать наглядную аналогию: представьте прямую, проходящую через две точки, как ось (например, корешок открытой книги или ось вращения колеса). Плоскости, проходящие через эту прямую, — это как страницы книги, которые можно переворачивать, или как плоскость, которую можно вращать вокруг этой оси. Поскольку вращать плоскость вокруг прямой можно непрерывно, существует бесконечное множество таких плоскостей.

Ответ: Через две точки пространства проходит бесконечное множество плоскостей.

Вопросы

1. Что означает слово "аксиома"?

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.

3. Как расположены прямая и плоскость, если прямая имеет с плоскостью две общие точки?

4. Сколько плоскостей проходит через прямую и не принадлежащую ей точку?

5. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?

1. Что означает слово "аксиома"?
Слово "аксиома" происходит от древнегреческого слова ἀξίωμα (axioma), что означает "достойное принятия", "значимое утверждение". В науке, и в частности в математике, аксиома — это исходное утверждение или положение какой-либо теории, которое принимается истинным без доказательств. Аксиомы служат фундаментом, отправной точкой для построения всей теории и для доказательства других утверждений, называемых теоремами. Они выбираются таким образом, чтобы быть интуитивно очевидными или являться базовыми соглашениями, на которых строится логическая система.
Ответ: Аксиома — это исходное утверждение, принимаемое без доказательств, на основе которого строятся другие доказательства в теории.

2. Сформулируйте аксиомы стереометрии.
Стереометрия, как раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве, базируется на трех основных аксиомах, которые определяют свойства точек, прямых и плоскостей:
Аксиома 1 (А1): Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Аксиома 2 (А2): Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
Аксиома 3 (А3): Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (то есть, две плоскости пересекаются по прямой).
Ответ: Основные аксиомы стереометрии: 1) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. 2) Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. 3) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

3. Как расположены прямая и плоскость, если прямая имеет с плоскостью две общие точки?
Расположение прямой и плоскости в данном случае определяется второй аксиомой стереометрии (А2). Эта аксиома утверждает: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Пусть прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют две общие точки, например, $A$ и $B$. Поскольку обе точки $A$ и $B$ принадлежат плоскости $\alpha$, по аксиоме А2 следует, что любая точка прямой $a$ также принадлежит плоскости $\alpha$. Это означает, что прямая целиком лежит в плоскости.
Ответ: Прямая лежит в этой плоскости (принадлежит ей).

4. Сколько плоскостей проходит через прямую и не принадлежащую ей точку?
Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит одна и только одна плоскость. Это утверждение является следствием (теоремой) из аксиом стереометрии и одним из способов задания плоскости.
Рассуждение выглядит так:
1. Пусть у нас есть прямая $l$ и точка $P$, которая не лежит на прямой $l$ ($P \notin l$).
2. На прямой $l$ можно выбрать две любые различные точки, например, $A$ и $B$.
3. В результате мы имеем три точки: $A$, $B$ и $P$. Эти точки не лежат на одной прямой (не коллинеарны), потому что точка $P$ по условию не принадлежит прямой $l$, на которой лежат $A$ и $B$.
4. Согласно первой аксиоме стереометрии (А1), через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость.
Эта единственная плоскость будет содержать и прямую $l$ (по аксиоме А2, так как она проходит через точки $A$ и $B$), и точку $P$.
Ответ: Только одна плоскость.

5. Сколько плоскостей проходит через две пересекающиеся прямые?
Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость. Это также является следствием из аксиом и еще одним способом задания плоскости.
Рассуждение выглядит так:
1. Пусть прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$.
2. Возьмем на прямой $a$ точку $A$, не совпадающую с $M$.
3. Возьмем на прямой $b$ точку $B$, не совпадающую с $M$.
4. Мы получили три точки: $A$, $B$ и $M$. Эти три точки не лежат на одной прямой. Если бы они лежали на одной прямой, то эта прямая должна была бы совпадать и с прямой $a$ (проходящей через $A$ и $M$), и с прямой $b$ (проходящей через $B$ и $M$), что противоречит условию, что $a$ и $b$ — две разные прямые.
5. По аксиоме А1, через три неколлинеарные точки $A$, $B$ и $M$ проходит единственная плоскость.
Эта плоскость содержит прямую $a$ (так как проходит через точки $A$ и $M$) и прямую $b$ (так как проходит через точки $B$ и $M$), согласно аксиоме А2.
Ответ: Только одна плоскость.

2.1. Сколько прямых можно провести через одну точку?

2.2. С

2.1. Этот вопрос относится к одной из фундаментальных аксиом геометрии. Через одну-единственную точку можно провести бесконечное множество прямых.

Чтобы наглядно это представить, вообразите точку в пространстве. Прямую можно провести через эту точку в любом направлении. Представьте, что вы держите карандаш (прямую) за его центр (точку) и можете вращать его как угодно. Каждое уникальное положение карандаша в пространстве будет соответствовать новой прямой, проходящей через эту центральную точку. Поскольку направлений в пространстве бесконечно много, то и количество прямых, которые можно провести через одну точку, также бесконечно.

С точки зрения аналитической геометрии на плоскости, пучок прямых, проходящих через заданную точку $(x_0, y_0)$, описывается уравнением $y - y_0 = k(x - x_0)$, где $k$ — это угловой коэффициент. Каждому действительному числу $k$ соответствует своя уникальная прямая из этого пучка. Так как множество действительных чисел бесконечно, то и количество невертикальных прямых, проходящих через точку, бесконечно. К ним также добавляется одна вертикальная прямая $x = x_0$, что не меняет общей бесконечности множества.

Таким образом, через одну точку проходит бесконечное множество прямых, которые все вместе образуют так называемый пучок прямых.

Ответ: Бесконечно много (бесконечное множество).

2.2. Сколько плоскостей можно провести через одну прямую?

2.2. Для ответа на этот вопрос воспользуемся одной из аксиом стереометрии (или её следствием), которая гласит: через прямую и точку, не лежащую на этой прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Пусть нам дана некоторая прямая $a$. Чтобы однозначно задать плоскость, нам недостаточно одной лишь прямой. Нам нужна дополнительная точка $M$, которая не лежит на прямой $a$.

В трехмерном пространстве существует бесконечное множество точек, не принадлежащих заданной прямой $a$. Для каждой такой точки, которую мы выберем (назовем их $M_1, M_2, M_3, \dots$), мы можем провести единственную плоскость, содержащую и прямую $a$, и эту точку. Например, через прямую $a$ и точку $M_1$ проходит плоскость $\alpha_1$. Через ту же прямую $a$ и другую точку $M_2$ проходит уже другая плоскость $\alpha_2$.

Так как мы можем выбрать бесконечное количество различных точек вне прямой $a$, мы можем построить бесконечное множество различных плоскостей, каждая из которых будет проходить через эту одну и ту же прямую $a$.

Это можно наглядно представить, если вообразить прямую как ось вращения. Тогда плоскости, проходящие через неё, — это как лопасти вентилятора, вращающиеся вокруг этой оси. Другая аналогия — это открытая книга, где корешок — это прямая, а страницы — это различные плоскости, проходящие через неё.

Ответ: Через одну прямую можно провести бесконечное множество плоскостей.

2.3. Сколько плоскостей может проходить через три данные точки?

При каком расположении трех точек через них можно провести бесконечно много плоскостей?

Сколько плоскостей может проходить через три данные точки?
Количество плоскостей, которые можно провести через три данные точки, зависит от их взаимного расположения в пространстве. Существует два возможных случая:
1. Три точки не лежат на одной прямой (являются неколлинеарными). В этом случае, согласно фундаментальной аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Эти три точки однозначно задают единственную плоскость.
2. Три точки лежат на одной прямой (являются коллинеарными). В этом случае через прямую, на которой лежат эти точки, можно провести бесконечное множество плоскостей. Каждая из этих плоскостей будет содержать все три данные точки. Можно представить эту прямую как ось вращения, а плоскости — как страницы книги, вращающиеся вокруг переплета.
Ответ: через три данные точки может проходить либо одна плоскость (если они не лежат на одной прямой), либо бесконечно много плоскостей (если они лежат на одной прямой).

При каком расположении трех точек через них можно провести бесконечно много плоскостей?
Бесконечно много плоскостей можно провести через три точки тогда и только тогда, когда эти три точки лежат на одной прямой (то есть являются коллинеарными). Эта прямая становится общей линией пересечения для всех плоскостей, которые через нее проходят. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей, а сама прямая — осью этого пучка.
Ответ: бесконечно много плоскостей можно провести, если три точки лежат на одной прямой.