Страница 24 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что изучает стереометрия?

2. Как переводится с греческого языка слово "стереометрия"?

3. Идеализацией каких объектов является: а) точка; б) прямая; в) плоскость?

4. Как обозначают: а) точки; б) прямые; в) плоскости?

5. Как обозначается то, что точка A принадлежит прямой $a$?

6. Как обозначается то, что точка B не принадлежит прямой $a$?

7. Какие две прямые в пространстве называются пересекающимися?

8. Как обозначается то, что точка C является пересечением прямых $a$ и $b$?

9. Как обозначается то, что точка A принадлежит плоскости $\alpha$?

10. Как обозначается то, что точка B не принадлежит плоскости $\alpha$?

11. В каком случае говорят, что прямая: а) лежит в плоскости; б) пересекает плоскость?

12. Как обозначается то, что прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$?

13. Как обозначается то, что точка C является пересечением прямой $a$ и плоскости $\beta$?

14. В каком случае говорят, что две плоскости пересекаются по прямой?

15. Как обозначается то, что прямая $c$ является пересечением плоскостей $\alpha$ и $\beta$?

16. Когда и где зародилась геометрия?

17. Как называются многогранники, изображенные на рисунке 1.6? Сколько у них граней?

1. Что изучает стереометрия?Стереометрия — это раздел геометрии, который изучает свойства фигур в трехмерном пространстве. В отличие от планиметрии, изучающей фигуры на плоскости (двумерное пространство), стереометрия рассматривает пространственные тела (например, куб, пирамида, шар, конус), а также взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ответ:

2. Как переводится с греческого языка слово "стереометрия"?Слово "стереометрия" происходит от двух древнегреческих слов: "στερεός" (стереос), что означает "объемный", "пространственный" или "твердый", и "μετρέω" (метрео), что переводится как "измеряю". Таким образом, дословно "стереометрия" означает "измерение объемов" или "пространственное измерение". Ответ:

3. Идеализацией каких объектов является: а) точка; б) прямая; в) плоскость?

а) точка — это идеализация физического объекта, размерами которого можно пренебречь в рамках данной задачи. Например, это может быть положение звезды на небе, след от укола иглой на бумаге или очень маленькая частица.

б) прямая — это идеализация тонко натянутой нити, края стола или луча света. В геометрии прямая не имеет толщины и бесконечно простирается в обе стороны.

в) плоскость — это идеализация ровной, гладкой поверхности, такой как поверхность стола, зеркала или спокойной воды. В геометрии плоскость считается абсолютно плоской, не имеющей толщины и бесконечной во всех направлениях. Ответ:

4. Как обозначают: а) точки; б) прямые; в) плоскости?

а) точки обозначают прописными (большими) латинскими буквами: $A, B, C, \dots$

б) прямые обозначают строчными (маленькими) латинскими буквами ($a, b, c, \dots$) либо двумя прописными латинскими буквами, которые обозначают две точки, лежащие на этой прямой (например, прямая $AB$).

в) плоскости обозначают строчными греческими буквами: $\alpha, \beta, \gamma, \dots$ Также плоскость можно обозначить в скобках тремя ее точками, не лежащими на одной прямой (например, $(ABC)$). Ответ:

5. Как обозначается то, что точка А принадлежит прямой a?Для обозначения того, что точка $A$ принадлежит прямой $a$ (или "лежит на прямой $a$"), используется символ принадлежности множеству: $A \in a$. Ответ:

6. Как обозначается то, что точка В не принадлежит прямой a?Для обозначения того, что точка $B$ не принадлежит прямой $a$ (или "лежит вне прямой $a$"), используется символ непринадлежности множеству: $B \notin a$. Ответ:

7. Какие две прямые в пространстве называются пересекающимися?Две прямые в пространстве называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Важно отметить, что две пересекающиеся прямые всегда лежат в одной плоскости. Ответ:

8. Как обозначается то, что точка C является пересечением прямых a и b?Тот факт, что точка $C$ является точкой пересечения прямых $a$ и $b$, обозначается с помощью символа пересечения множеств: $C = a \cap b$. Ответ:

9. Как обозначается то, что точка A принадлежит плоскости α?Принадлежность точки $A$ плоскости $\alpha$ обозначается аналогично принадлежности точки прямой: $A \in \alpha$. Ответ:

10. Как обозначается то, что точка B не принадлежит плоскости α?Непринадлежность точки $B$ плоскости $\alpha$ обозначается следующим образом: $B \notin \alpha$. Ответ:

11. В каком случае говорят, что прямая: а) лежит в плоскости; б) пересекает плоскость?

а) лежит в плоскости: Говорят, что прямая лежит в плоскости, если каждая точка этой прямой принадлежит данной плоскости. Достаточным условием является принадлежность двух различных точек прямой данной плоскости.

б) пересекает плоскость: Говорят, что прямая пересекает плоскость, если у них есть только одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения прямой и плоскости. Ответ:

12. Как обозначается то, что прямая a лежит в плоскости α?То, что прямая $a$ целиком лежит в плоскости $\alpha$, обозначается с помощью символа включения (подмножества): $a \subset \alpha$. Ответ:

13. Как обозначается то, что точка C является пересечением прямой a и плоскости β?То, что точка $C$ является единственной общей точкой прямой $a$ и плоскости $\beta$, обозначается так: $C = a \cap \beta$. Ответ:

14. В каком случае говорят, что две плоскости пересекаются по прямой?Если две различные плоскости имеют хотя бы одну общую точку, то они пересекаются по прямой, которая содержит все общие точки этих двух плоскостей. Ответ:

15. Как обозначается то, что прямая c является пересечением плоскостей α и β?То, что прямая $c$ является линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, записывается с помощью знака пересечения: $c = \alpha \cap \beta$. Ответ:

16. Когда и где зародилась геометрия?Геометрия зародилась в глубокой древности, в цивилизациях Древнего Египта, Вавилона и Индии примерно в III тысячелетии до н.э. Ее появление было вызвано практическими потребностями: землемерием (особенно в Египте, где после разливов Нила приходилось заново размечать участки), строительством сооружений (пирамид, храмов, каналов), а также для нужд астрономии и навигации. Как строгая математическая наука геометрия оформилась в Древней Греции, где труды Евклида ("Начала", около 300 г. до н.э.) систематизировали накопленные знания на основе аксиоматического подхода. Ответ:

17. Как называются многогранники, изображенные на рисунке 1.6? Сколько у них граней?В предоставленном задании отсутствует рисунок 1.6, поэтому невозможно определить, какие многогранники на нем изображены и посчитать количество их граней. Ответ:

1.1. Представьте, что стены класса — это части плоскостей. Укажите:

а) две пересекающиеся плоскости;

б) две непересекающиеся плоскости;

в) плоскость и непересекающую ее прямую;

г) две пересекающиеся прямые;

д) две непересекающиеся прямые.

а) две пересекающиеся плоскости

Чтобы найти две пересекающиеся плоскости в классной комнате, достаточно рассмотреть любые две смежные поверхности. Например, плоскость, в которой лежит пол, и плоскость, в которой лежит любая из стен. Эти две плоскости пересекаются по прямой линии, которая является линией стыка стены и пола (плинтусом). Аналогично, любые две смежные стены также являются пересекающимися плоскостями.

Ответ: плоскость пола и плоскость одной из стен.

б) две непересекающиеся плоскости

Непересекающиеся плоскости в пространстве называются параллельными. В классной комнате, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, такими плоскостями являются противолежащие. Например, плоскость пола и плоскость потолка параллельны друг другу и никогда не пересекутся. Другой пример — плоскости, содержащие переднюю и заднюю стены.

Ответ: плоскость пола и плоскость потолка.

в) плоскость и непересекающую ее прямую

Прямая не пересекает плоскость в том случае, если она ей параллельна. Возьмем в качестве плоскости пол. Любая прямая, которая лежит в плоскости потолка, будет параллельна плоскости пола и, следовательно, не будет ее пересекать. Например, линия пересечения потолка и одной из стен.

Ответ: плоскость пола и прямая, по которой пересекаются потолок и одна из стен.

г) две пересекающиеся прямые

Пересекающиеся прямые — это прямые, у которых есть одна общая точка. В классной комнате стыки стен, пола и потолка образуют прямые линии (ребра). Любые два ребра, которые сходятся в одном углу комнаты, являются пересекающимися прямыми. Например, прямая, образованная стыком пола и передней стены, и прямая, образованная стыком пола и боковой стены. Они пересекаются в углу комнаты.

Ответ: прямая пересечения пола с передней стеной и прямая пересечения пола с боковой стеной.

д) две непересекающиеся прямые

В пространстве непересекающиеся прямые могут быть либо параллельными, либо скрещивающимися.
Пример параллельных прямых: две прямые, лежащие в одной плоскости, но не имеющие общих точек. Например, линия стыка пола с передней стеной и линия стыка потолка с той же передней стеной. Обе эти прямые лежат в плоскости передней стены и параллельны друг другу.
Пример скрещивающихся прямых: две прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Например, линия стыка пола с передней стеной и линия стыка задней стены с потолком.Для ответа достаточно привести один пример.

Ответ: прямая пересечения пола с передней стеной и прямая пересечения потолка с передней стеной.

1.2. Изобразите:

а) две пересекающиеся прямые;

б) плоскость и непересекающую ее прямую;

в) две пересекающиеся плоскости.

а) две пересекающиеся прямые

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой пересечения. Пусть даны две прямые $a$ и $b$. Если они пересекаются в точке $M$, то их пересечение записывается так: $a \cap b = M$. На изображении это будет выглядеть как две прямые линии, которые проходят через одну общую точку $M$.

Ответ: Изображены две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в единственной точке $M$.

б) плоскость и непересекающую ее прямую

Прямая не пересекает плоскость, если у них нет ни одной общей точки. Такое взаимное расположение означает, что прямая параллельна плоскости. Обозначим плоскость греческой буквой $\alpha$, а прямую — латинской буквой $a$. Если прямая $a$ не пересекает плоскость $\alpha$, то $a \parallel \alpha$. Их пересечение является пустым множеством: $a \cap \alpha = \emptyset$. При изображении плоскость обычно рисуют в виде параллелограмма. Прямая, параллельная плоскости, изображается в виде линии, которая не имеет с этим параллелограммом общих точек.

Ответ: Изображена плоскость $\alpha$ (в виде параллелограмма) и прямая $a$, которая параллельна плоскости $\alpha$ и не имеет с ней общих точек.

в) две пересекающиеся плоскости

Две различные плоскости называются пересекающимися, если их пересечение — это прямая линия. Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на этой прямой. Обозначим плоскости греческими буквами $\alpha$ и $\beta$. Их линия пересечения — прямая $c$. Это записывается так: $\alpha \cap \beta = c$. Для изображения двух пересекающихся плоскостей обычно рисуют два параллелограмма, которые пересекаются по общей прямой линии $c$.

Ответ: Изображены две плоскости $\alpha$ и $\beta$, которые пересекаются по прямой $c$.