Страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

72. В параллелограмме $ABCD$ укажите векторы:

а) $\vec{AB} + \vec{AD}$

б) $\vec{AC} + \vec{CD}$

в) $\vec{AD} + \vec{CB} + \vec{DC}$

а) В параллелограмме $ABCD$ сложение векторов $\overline{AB}$ и $\overline{AD}$, выходящих из одной вершины $A$, выполняется по правилу параллелограмма. Суммой этих векторов является вектор диагонали, выходящей из той же вершины. Таким образом, $\overline{AB} + \overline{AD} = \overline{AC}$.
Также можно использовать правило треугольника. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $\overline{AD} = \overline{BC}$. Тогда сумму можно переписать как $\overline{AB} + \overline{BC}$. По правилу треугольника (правило Шаля), сумма этих векторов равна вектору, соединяющему начало первого вектора с концом второго, то есть $\overline{AC}$.
Ответ: $\overline{AC}$

б) Для нахождения суммы векторов $\overline{AC} + \overline{CD}$ применяется правило треугольника (правило Шаля). Конец первого вектора (точка $C$) является началом второго вектора. Суммой будет вектор, идущий от начала первого вектора (точка $A$) к концу второго (точка $D$).
Следовательно, $\overline{AC} + \overline{CD} = \overline{AD}$.
Ответ: $\overline{AD}$

в) Для вычисления суммы $\overline{AD} + \overline{CB} + \overline{DC}$ можно переставить векторы местами, так как сложение векторов коммутативно, и применить правило треугольника.
Перегруппируем слагаемые: $(\overline{AD} + \overline{DC}) + \overline{CB}$.
Сначала сложим $\overline{AD} + \overline{DC}$. По правилу треугольника, эта сумма равна $\overline{AC}$.
Теперь выражение выглядит как $\overline{AC} + \overline{CB}$.
Снова применим правило треугольника: $\overline{AC} + \overline{CB} = \overline{AB}$.
Таким образом, итоговая сумма равна вектору $\overline{AB}$.
Ответ: $\overline{AB}$

73. В прямоугольнике ABCD $AB = 4$, $BC = 3$. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O и равны 5. Найдите модуль суммы векторов:

a) $|\vec{AB} + \vec{AD}|$;

б) $|\vec{AO} + \vec{BO}|$;

в) $|\vec{OB} + \vec{OC}|$;

г) $|\vec{AC} + \vec{BD}|$.

а) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{AB} + \vec{AD}|$, воспользуемся правилом параллелограмма для сложения векторов. Поскольку векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ исходят из одной вершины A, их сумма равна вектору диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. В данном случае таким параллелограммом является сам прямоугольник ABCD.
Следовательно, сумма векторов $\vec{AB} + \vec{AD}$ равна вектору диагонали $\vec{AC}$:
$\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$
Модуль этой суммы равен длине вектора $\vec{AC}$, то есть длине диагонали AC.
$|\vec{AB} + \vec{AD}| = |\vec{AC}|$
Длина диагонали прямоугольника ABCD со сторонами $AB = 4$ и $BC = 3$ находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABC:
$|\vec{AC}| = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
Это значение также дано в условии задачи.
Ответ: 5

б) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{AO} + \vec{BO}|$, воспользуемся свойствами диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника в точке пересечения O делятся пополам, и $AC = BD$. Отсюда следует, что $AO = OC = BO = OD$.
Рассмотрим векторы. Вектор $\vec{BO}$ (направленный из B в O) и вектор $\vec{OD}$ (направленный из O в D) сонаправлены и равны по длине, так как O - середина BD. Таким образом, $\vec{BO} = \vec{OD}$.
Заменим в искомой сумме вектор $\vec{BO}$ на равный ему вектор $\vec{OD}$:
$\vec{AO} + \vec{BO} = \vec{AO} + \vec{OD}$
По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма $\vec{AO} + \vec{OD}$ равна вектору $\vec{AD}$:
$\vec{AO} + \vec{OD} = \vec{AD}$
Следовательно, $|\vec{AO} + \vec{BO}| = |\vec{AD}|$.
Длина стороны AD равна длине противоположной стороны BC, то есть $AD = BC = 3$.
Ответ: 3

в) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{OB} + \vec{OC}|$, снова используем свойство точки пересечения диагоналей. Точка O является серединой диагонали AC, поэтому вектор $\vec{OC}$ (из O в C) равен вектору $\vec{AO}$ (из A в O), так как они сонаправлены и равны по длине.
$\vec{OC} = \vec{AO}$
Подставим это в искомую сумму:
$\vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OB} + \vec{AO}$
Поменяем слагаемые местами (сложение векторов коммутативно):
$\vec{AO} + \vec{OB}$
По правилу треугольника, примененному к треугольнику AOB, эта сумма равна вектору $\vec{AB}$:
$\vec{AO} + \vec{OB} = \vec{AB}$
Следовательно, $|\vec{OB} + \vec{OC}| = |\vec{AB}|$.
Длина стороны AB дана в условии и равна 4.
Ответ: 4

г) Чтобы найти модуль суммы векторов $|\vec{AC} + \vec{BD}|$, выразим векторы диагоналей через векторы сторон $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$.
Из правила параллелограмма: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Рассмотрим треугольник ABD. По правилу сложения векторов: $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$. Отсюда можно выразить вектор $\vec{BD}$:
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$
Теперь сложим векторные выражения для $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{AB})$
$\vec{AC} + \vec{BD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{AB} = 2\vec{AD}$
Модуль этой суммы равен:
$|\vec{AC} + \vec{BD}| = |2\vec{AD}| = 2 \cdot |\vec{AD}|$
Длина вектора $\vec{AD}$ равна длине стороны AD, которая равна стороне BC. $AD = BC = 3$.
$|\vec{AC} + \vec{BD}| = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

74. Диагонали AC и BD ромба ABCD равны соответственно 14 и 10 и пересекаются в точке O. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$;

б) $\vec{AB} - \vec{BC}$;

в) $2\vec{AB} - \vec{AC}$;

г) $\vec{BC} - \vec{OC}$.

По условию задачи дан ромб $ABCD$, диагонали которого $AC = 14$ и $BD = 10$. Диагонали пересекаются в точке $O$.

Основные свойства ромба, которые мы будем использовать:
1. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам. Это значит, что $AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{14}{2} = 7$ и $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
2. Противоположные стороны ромба параллельны и равны, поэтому соответствующие векторы равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$ и $\vec{AB} = \vec{DC}$.
3. Векторы, исходящие из одной вершины, складываются по правилу параллелограмма. Например, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

а) $\vec{AB} - \vec{AD}$
Для векторов, выходящих из одной точки (в данном случае из точки A), их разность $\vec{a} - \vec{b}$ представляет собой вектор, соединяющий конец вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$. Таким образом, вектор $\vec{AB} - \vec{AD}$ — это вектор, идущий из точки D в точку B, то есть вектор $\vec{DB}$. Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $BD$. $|\vec{AB} - \vec{AD}| = |\vec{DB}| = |BD| = 10$.
Ответ: 10.

б) $\vec{AB} - \vec{BC}$
В ромбе $ABCD$ векторы противоположных сторон $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ равны. Заменим в выражении вектор $\vec{BC}$ на равный ему вектор $\vec{AD}$: $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{AD}$. Это выражение идентично тому, что было в пункте (а). Следовательно, $\vec{AB} - \vec{BC} = \vec{DB}$. Длина этого вектора равна длине диагонали $BD$. $|\vec{AB} - \vec{BC}| = |\vec{DB}| = 10$.
Ответ: 10.

в) $2\vec{AB} - \vec{AC}$
Согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из вершины $A$ ромба, сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равна вектору диагонали $\vec{AC}$. $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Подставим это выражение в заданное: $2\vec{AB} - \vec{AC} = 2\vec{AB} - (\vec{AB} + \vec{AD}) = 2\vec{AB} - \vec{AB} - \vec{AD} = \vec{AB} - \vec{AD}$. Мы вновь получили выражение из пункта (а). $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Длина искомого вектора равна длине диагонали $BD$. $|2\vec{AB} - \vec{AC}| = |\vec{DB}| = 10$.
Ответ: 10.

г) $\vec{BC} - \vec{OC}$
Вычитание вектора $\vec{OC}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $-\vec{OC}$, который равен вектору $\vec{CO}$. $\vec{BC} - \vec{OC} = \vec{BC} + \vec{CO}$. По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, где начало второго вектора совпадает с концом первого: $\vec{BC} + \vec{CO} = \vec{BO}$. Следовательно, нам нужно найти длину вектора $\vec{BO}$. Длина вектора $\vec{BO}$ равна длине отрезка $BO$, который является половиной диагонали $BD$. $|\vec{BO}| = |BO| = \frac{1}{2} |BD| = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: 5.

75. Диагонали правильного шестиугольника ABCDEF, стороны которого равны 1, пересекаются в точке O. Найдите длину вектора:

а) $\vec{AO} - \vec{CD}$

б) $\vec{AE} - \vec{OE}$

в) $\vec{AO} - \vec{FE}$

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник $ABCDEF$ с центром в точке $O$ и стороной, равной 1, состоит из шести равносторонних треугольников ($\triangle AOB, \triangle BOC$ и т.д.). Из этого следует, что расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны, то есть $|OA| = |OB| = |OC| = |OD| = |OE| = |OF| = |AB| = 1$. Также в правильном шестиугольнике есть пары равных и сонаправленных векторов.

а) $\vec{AO} - \vec{CD}$

Рассмотрим четырехугольник $BCDO$. Так как $|OB|=|BC|=|CD|=|DO|=1$, он является ромбом. В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BO}$.

Заменим в исходном выражении вектор $\vec{CD}$ на равный ему вектор $\vec{BO}$:

$|\vec{AO} - \vec{CD}| = |\vec{AO} - \vec{BO}|$

Вычитание вектора $\vec{BO}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{OB}$:

$|\vec{AO} - \vec{BO}| = |\vec{AO} + \vec{OB}|$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов $\vec{AO}$ и $\vec{OB}$ есть вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AO} + \vec{OB} = \vec{AB}$

Следовательно, нам нужно найти длину вектора $\vec{AB}$:

$|\vec{AO} - \vec{CD}| = |\vec{AB}|$

Длина вектора $\vec{AB}$ равна длине стороны шестиугольника, которая по условию равна 1.

Ответ: 1.

б) $\vec{AE} - \vec{OE}$

Рассмотрим разность векторов $\vec{AE} - \vec{OE}$. Вычитание вектора $\vec{OE}$ эквивалентно прибавлению вектора $\vec{EO}$:

$|\vec{AE} - \vec{OE}| = |\vec{AE} + \vec{EO}|$

По правилу сложения векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, их сумма — это вектор, идущий из начала первого в конец второго. Таким образом:

$\vec{AE} + \vec{EO} = \vec{AO}$

Следовательно, искомая величина равна длине вектора $\vec{AO}$:

$|\vec{AE} - \vec{OE}| = |\vec{AO}|$

Длина вектора $\vec{AO}$ — это расстояние от вершины до центра правильного шестиугольника, которое равно длине его стороны. По условию, сторона равна 1.

Ответ: 1.

в) $\vec{AO} - \vec{FE}$

Рассмотрим векторы $\vec{AO}$ и $\vec{FE}$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ четырехугольник $AFEO$ является параллелограммом (и даже ромбом, так как $|AF|=|FE|=|EO|=|OA|=1$). В параллелограмме векторы, образуемые противоположными сторонами, равны. Следовательно, вектор $\vec{FE}$ равен вектору $\vec{AO}$.

$\vec{FE} = \vec{AO}$

Подставим это в искомое выражение:

$|\vec{AO} - \vec{FE}| = |\vec{AO} - \vec{AO}|$

Разность одинаковых векторов дает нулевой вектор $\vec{0}$:

$|\vec{AO} - \vec{AO}| = |\vec{0}|$

Длина (модуль) нулевого вектора равна нулю.

Ответ: 0.

76. В прямоугольнике ABCD AB = 4, AD = 3, диагонали AC и BD равны

5. Найдите длину вектора:

а) $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

б) $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

В прямоугольнике $ABCD$ даны длины сторон $AB = 4$ и $AD = 3$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, исходящие из одной вершины, перпендикулярны, так как они лежат на смежных сторонах прямоугольника. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.

а) Найдите длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Обозначим искомый вектор как $\vec{v} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $\vec{v} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD})$.
Разность векторов $\vec{AB} - \vec{AD}$ можно представить по правилу треугольника как вектор, соединяющий их концы, а именно $\vec{DB}$. Таким образом, $\vec{v} = \frac{1}{2}\vec{DB}$.
Длина вектора $|\vec{v}|$ равна половине длины вектора $\vec{DB}$: $|\vec{v}| = \frac{1}{2}|\vec{DB}|$.
Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $DB$ прямоугольника. Найдем ее по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $DAB$:
$|\vec{DB}| = DB = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Следовательно, длина искомого вектора равна:
$|\vec{v}| = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$.

Альтернативный способ (через скалярное произведение):
Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.
$|\vec{v}|^2 = \left(\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}\right) = \frac{1}{4}(\vec{AB} - \vec{AD}) \cdot (\vec{AB} - \vec{AD})$
$= \frac{1}{4}(\vec{AB} \cdot \vec{AB} - 2 \cdot \vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AD} \cdot \vec{AD}) = \frac{1}{4}(|\vec{AB}|^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AD} + |\vec{AD}|^2)$.
Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, их скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$. Подставим известные значения $|\vec{AB}| = 4$ и $|\vec{AD}| = 3$:
$|\vec{v}|^2 = \frac{1}{4}(4^2 - 2 \cdot 0 + 3^2) = \frac{1}{4}(16 + 9) = \frac{25}{4}$.
Тогда длина вектора равна: $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5.

б) Найдите длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Обозначим искомый вектор как $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $\vec{u} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$.
По правилу сложения векторов (правило треугольника для $\triangle ABC$), имеем $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Отсюда следует, что разность векторов $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$.
Таким образом, вектор $\vec{u}$ упрощается до $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Длина этого вектора равна половине длины вектора $\vec{BC}$: $|\vec{u}| = \frac{1}{2}|\vec{BC}|$.
В прямоугольнике $ABCD$ длины противоположных сторон равны, поэтому $|\vec{BC}| = BC = AD = 3$.
Следовательно, искомая длина вектора равна:
$|\vec{u}| = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$.

Альтернативный способ (через разложение по базисным векторам):
Вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов смежных сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ (поскольку в прямоугольнике $\vec{BC} = \vec{AD}$).
Подставим это выражение в исходную формулу для вектора $\vec{u}$:
$\vec{u} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AB}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}\vec{AD}$.
Тогда длина вектора $\vec{u}$ равна:
$|\vec{u}| = |\frac{1}{2}\vec{AD}| = \frac{1}{2}|\vec{AD}| = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$.
Ответ: 1,5.

77. Для правильного шестиугольника $ABCDEF$ найдите угол между векторами:
а) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AF}$;
б) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{EF}$;
в) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CB}$;
г) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$;
д) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BE}$;
е) $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{DE}$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника ABCDEF. Все стороны правильного шестиугольника равны, и все внутренние углы равны $120^\circ$. Сумма углов при одной вершине, образованных сторонами, составляет $360^\circ$.

а) $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ отложены от одной точки A. Угол между ними равен внутреннему углу шестиугольника при вершине A. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

б) $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$

В правильном шестиугольнике сторона EF параллельна стороне BC и противоположно направлена. То есть, вектор $\vec{EF}$ сонаправлен с вектором $\vec{CB}$. Таким образом, $\vec{EF} = \vec{CB}$. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{EF}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$.

Чтобы найти угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$, перенесем их к общему началу. Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, исходящими из разных вершин, равен внешнему углу шестиугольника при вершине B, то есть $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$. Следовательно, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

в) $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$

Как показано в предыдущем пункте, для нахождения угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$, мы рассматриваем угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Угол между направлениями этих векторов, образующих стороны многоугольника, равен внешнему углу, который составляет $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку $\vec{CB} = -\vec{BC}$, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{CB}$ будет равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

г) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$

В правильном шестиугольнике с центром O справедливо равенство $\vec{DC} = \vec{FA}$. Это можно увидеть, рассмотрев параллельный перенос. Поэтому угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равен углу между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{FA}$.

Вектор $\vec{FA}$ противоположен вектору $\vec{AF}$. Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$ равен $120^\circ$ (из пункта а). Угол между $\vec{AB}$ и $\vec{FA}$ равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AB}$ и $\vec{AF}$.

Угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

д) $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$

Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как $AB=BC$. Угол $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании AC равны $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ)/2 = 30^\circ$.

Длинная диагональ BE параллельна стороне CD. Значит, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$ равен углу между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$.

Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ выходят из одной вершины C, но один входит, а другой выходит. Чтобы найти угол между ними, нужно отложить их от одной точки. Угол между их направлениями будет равен $180^\circ - \angle ACD$.

Угол $\angle ACD$ можно найти как разность углов: $\angle ACD = \angle BCD - \angle BCA = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CD}$ равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

е) $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$

В правильном шестиугольнике сторона DE параллельна стороне AB, но векторы $\vec{DE}$ и $\vec{AB}$ направлены в противоположные стороны. Таким образом, $\vec{DE} = -\vec{AB} = \vec{BA}$.

Следовательно, угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DE}$ равен углу между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$.

Угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ (оба выходят из точки A) равен $\angle CAB$. Как мы нашли в пункте д), $\angle CAB = 30^\circ$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$. Угол между $\vec{AC}$ и $\vec{BA}$ равен $180^\circ$ минус угол между $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$.

Угол равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

78. Для прямоугольника ABCD со сторонами $AB = 8$, $AD = 6$ найдите скалярное произведение:

а) $\overline{AB} \cdot \overline{AD}$;

б) $\overline{AB} \cdot \overline{AC}$;

в) $\overline{AB} \cdot \overline{BC}$;

г) $\overline{AC} \cdot \overline{BC}$.

а) Скалярное произведение векторов определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. В прямоугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны, следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $90^\circ$. Длины векторов равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{AB}| = 8$ и $|\vec{AD}| = 6$. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, то скалярное произведение равно:
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(90^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

б) Для вычисления скалярного произведения $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ воспользуемся свойством сложения векторов. Вектор диагонали $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Поскольку в прямоугольнике противолежащие стороны равны и параллельны, то $\vec{BC} = \vec{AD}$. Таким образом, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Теперь подставим это выражение в скалярное произведение:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$
Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:
$\vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{AD}$
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 8^2 = 64$.
Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ было найдено в пункте а) и равно 0.
Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 64 + 0 = 64$.
Ответ: 64

в) Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ соответствуют смежным сторонам прямоугольника. Угол между ними равен $90^\circ$. Длина вектора $|\vec{BC}|$ равна длине стороны $AD$, то есть $|\vec{BC}| = 6$.
Вычислим скалярное произведение по формуле:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

г) Для вычисления скалярного произведения $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$ также воспользуемся разложением вектора $\vec{AC}$ на составляющие: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Заменим также вектор $\vec{BC}$ на равный ему вектор $\vec{AD}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot \vec{AD}$
Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности:
$(\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot \vec{AD} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AD} \cdot \vec{AD}$
Из пункта а) мы знаем, что $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.
Скалярный квадрат вектора $\vec{AD}$ равен квадрату его длины: $\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = 6^2 = 36$.
Таким образом, $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0 + 36 = 36$.
Ответ: 36