Номер 78, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Повторение курса геометрии для 7—9 классов - номер 78, страница 17.

Условия.

78. Для прямоугольника ABCD со сторонами $AB = 8$, $AD = 6$ найдите скалярное произведение:

а) $\overline{AB} \cdot \overline{AD}$;

б) $\overline{AB} \cdot \overline{AC}$;

в) $\overline{AB} \cdot \overline{BC}$;

г) $\overline{AC} \cdot \overline{BC}$.

Решение.

Решение 2.

а) Скалярное произведение векторов определяется формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. В прямоугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны, следовательно, угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ равен $90^\circ$. Длины векторов равны длинам соответствующих сторон: $|\vec{AB}| = 8$ и $|\vec{AD}| = 6$. Так как $\cos(90^\circ) = 0$, то скалярное произведение равно:
$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos(90^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

б) Для вычисления скалярного произведения $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ воспользуемся свойством сложения векторов. Вектор диагонали $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Поскольку в прямоугольнике противолежащие стороны равны и параллельны, то $\vec{BC} = \vec{AD}$. Таким образом, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
Теперь подставим это выражение в скалярное произведение:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD})$
Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, получаем:
$\vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{AD}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{AD}$
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины: $\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 8^2 = 64$.
Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ было найдено в пункте а) и равно 0.
Следовательно, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 64 + 0 = 64$.
Ответ: 64

в) Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ соответствуют смежным сторонам прямоугольника. Угол между ними равен $90^\circ$. Длина вектора $|\vec{BC}|$ равна длине стороны $AD$, то есть $|\vec{BC}| = 6$.
Вычислим скалярное произведение по формуле:
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 8 \cdot 6 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0

г) Для вычисления скалярного произведения $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$ также воспользуемся разложением вектора $\vec{AC}$ на составляющие: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Заменим также вектор $\vec{BC}$ на равный ему вектор $\vec{AD}$.
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot \vec{AD}$
Раскроем скобки, используя свойство дистрибутивности:
$(\vec{AB} + \vec{AD}) \cdot \vec{AD} = \vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AD} \cdot \vec{AD}$
Из пункта а) мы знаем, что $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.
Скалярный квадрат вектора $\vec{AD}$ равен квадрату его длины: $\vec{AD} \cdot \vec{AD} = |\vec{AD}|^2 = 6^2 = 36$.
Таким образом, $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = 0 + 36 = 36$.
Ответ: 36