Номер 76, страница 17 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Повторение курса геометрии для 7—9 классов - номер 76, страница 17.

Условия.

76. В прямоугольнике ABCD AB = 4, AD = 3, диагонали AC и BD равны

5. Найдите длину вектора:

а) $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

б) $\frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Решение.

Решение 2.

В прямоугольнике $ABCD$ даны длины сторон $AB = 4$ и $AD = 3$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, исходящие из одной вершины, перпендикулярны, так как они лежат на смежных сторонах прямоугольника. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$.

а) Найдите длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.

Обозначим искомый вектор как $\vec{v} = \frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $\vec{v} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AD})$.
Разность векторов $\vec{AB} - \vec{AD}$ можно представить по правилу треугольника как вектор, соединяющий их концы, а именно $\vec{DB}$. Таким образом, $\vec{v} = \frac{1}{2}\vec{DB}$.
Длина вектора $|\vec{v}|$ равна половине длины вектора $\vec{DB}$: $|\vec{v}| = \frac{1}{2}|\vec{DB}|$.
Длина вектора $\vec{DB}$ равна длине диагонали $DB$ прямоугольника. Найдем ее по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $DAB$:
$|\vec{DB}| = DB = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Следовательно, длина искомого вектора равна:
$|\vec{v}| = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$.

Альтернативный способ (через скалярное произведение):
Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.
$|\vec{v}|^2 = \left(\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AD}\right) = \frac{1}{4}(\vec{AB} - \vec{AD}) \cdot (\vec{AB} - \vec{AD})$
$= \frac{1}{4}(\vec{AB} \cdot \vec{AB} - 2 \cdot \vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AD} \cdot \vec{AD}) = \frac{1}{4}(|\vec{AB}|^2 - 2\vec{AB} \cdot \vec{AD} + |\vec{AD}|^2)$.
Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ перпендикулярны, их скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 0$. Подставим известные значения $|\vec{AB}| = 4$ и $|\vec{AD}| = 3$:
$|\vec{v}|^2 = \frac{1}{4}(4^2 - 2 \cdot 0 + 3^2) = \frac{1}{4}(16 + 9) = \frac{25}{4}$.
Тогда длина вектора равна: $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5.

б) Найдите длину вектора $\frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Обозначим искомый вектор как $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$.
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $\vec{u} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$.
По правилу сложения векторов (правило треугольника для $\triangle ABC$), имеем $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$. Отсюда следует, что разность векторов $\vec{AC} - \vec{AB} = \vec{BC}$.
Таким образом, вектор $\vec{u}$ упрощается до $\vec{u} = \frac{1}{2}\vec{BC}$.
Длина этого вектора равна половине длины вектора $\vec{BC}$: $|\vec{u}| = \frac{1}{2}|\vec{BC}|$.
В прямоугольнике $ABCD$ длины противоположных сторон равны, поэтому $|\vec{BC}| = BC = AD = 3$.
Следовательно, искомая длина вектора равна:
$|\vec{u}| = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$.

Альтернативный способ (через разложение по базисным векторам):
Вектор диагонали $\vec{AC}$ можно выразить как сумму векторов смежных сторон: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$ (поскольку в прямоугольнике $\vec{BC} = \vec{AD}$).
Подставим это выражение в исходную формулу для вектора $\vec{u}$:
$\vec{u} = \frac{1}{2}((\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AB}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD} - \vec{AB}) = \frac{1}{2}\vec{AD}$.
Тогда длина вектора $\vec{u}$ равна:
$|\vec{u}| = |\frac{1}{2}\vec{AD}| = \frac{1}{2}|\vec{AD}| = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5$.
Ответ: 1,5.