Номер 80, страница 19 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

80. Точки $O(0; 0)$, $A(6; 2)$, $C(0; 6)$ и $B$ являются вершинами параллелограмма $OABC$. Найдите координаты точки $B$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма, зная три другие, можно использовать два основных способа: через векторы или через свойства диагоналей.

Способ 1: Использование векторов

В параллелограмме OABC противоположные стороны параллельны и равны. Это означает, что векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, $\vec{OA} = \vec{CB}$ и $\vec{OC} = \vec{AB}$. Также, по правилу параллелограмма для сложения векторов, выходящих из одной вершины, верно равенство: $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}$. Воспользуемся последним свойством.

Даны координаты точек: $O(0; 0)$, $A(6; 2)$ и $C(0; 6)$. Пусть искомая точка $B$ имеет координаты $(x; y)$.

1. Найдем координаты векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$. Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала.

Координаты вектора $\vec{OA}$ равны $(6 - 0; 2 - 0) = (6; 2)$.

Координаты вектора $\vec{OC}$ равны $(0 - 0; 6 - 0) = (0; 6)$.

2. Сложим векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ для получения координат вектора $\vec{OB}$. Сложение векторов производится путем сложения их соответствующих координат.

$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} = (6 + 0; 2 + 6) = (6; 8)$.

3. Координаты вектора $\vec{OB}$, идущего из начала координат $O(0;0)$ в точку $B(x;y)$, равны координатам точки $B$.

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(6; 8)$.

Ответ: B(6; 8).

Способ 2: Использование свойства диагоналей

Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. В параллелограмме OABC диагоналями являются отрезки OB и AC. Это значит, что их середины совпадают.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находятся по формуле: $(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2})$.

1. Найдем координаты середины диагонали AC, используя точки $A(6; 2)$ и $C(0; 6)$. Пусть это будет точка M.

$x_M = \frac{6 + 0}{2} = 3$

$y_M = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Таким образом, середина диагонали AC имеет координаты M(3; 4).

2. Точка M также является серединой диагонали OB. Пусть точка $B$ имеет координаты $(x; y)$. Используя точки $O(0; 0)$ и $B(x; y)$, запишем координаты их середины:

$x_M = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$

$y_M = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

3. Приравняем координаты середины, найденные двумя способами, чтобы найти $x$ и $y$.

$\frac{x}{2} = 3 \implies x = 2 \cdot 3 = 6$

$\frac{y}{2} = 4 \implies y = 2 \cdot 4 = 8$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(6; 8)$.

Ответ: B(6; 8).